Enunciado

Um fabricante de baterias de níquel hidrogênio seleciona aleatoriamente 100 placas de níquel para testar as células, ciclando-as certa quantidade de vezes e determinando que 14 placas foram cobertas de bolhas.

a. Isso fornece uma forte evidência de que mais de 10 % das placas formam bolhas sob tais circunstâncias? Determine e teste as hipóteses apropriadas, usando um nível de significância de 0,05 . Ao chegar à sua conclusão, que tipo de erro você pode ter cometido?

b. Se for realmente o caso de 15 % das placas formarem bolhas sob essas circunstâncias e se for usado um tamanho de amostra de 100 , qual é a probabilidade de a hipótese nula da parte (a) não ser rejeitada pelo teste nível 0,05 ? Responda a essa pergunta para um tamanho da amostra de 200 .

c. Quantas placas devem ser testadas para se ter β ( 0,15 ) = 0,10 para o teste da parte (a)?

Passo 1

a.

1p= proporção real de todas as placas de níquel que empolam nas circunstâncias dadas.

2 H 0 : p = . 10

3 H a : p > . 10

4 z = p ^ - p o p o 1 - p o / n = p ^ - . 10 . 10 ( . 90 ) / n

5 Rejeite  H 0  se  z ≥ 1.645

6 z = 14 / 100 - . 10 . 10 ( . 90 ) / 100 = 1.33

7Falha ao rejeitar H o . Os dados não fornecem evidências convincentes para concluir que mais de 10% de todas as placas empolam sob as circunstâncias.

O possível erro que poderíamos ter cometido é um erro do Tipo II: não rejeitar a hipótese nula quando ela é realmente verdadeira

Passo 2

b. β ( . 15 ) = Φ . 10 - . 15 + 1.645 . 10 ( . 90 ) / 100 . 15 ( . 85 ) / 100 = Φ ( - . 02 ) = . 4920 .  Quando   n = 200 , β ( . 15 ) = Φ . 10 - . 15 + 1.645 . 10 ( . 90 ) / 200 . 15 ( . 85 ) / 200 = Φ ( - . 60 ) = . 2743

Passo 3

c. n = 1.645 . 10 ( . 90 ) + 1.28 . 15 ( . 85 ) . 15 - . 10 2 = 19.01 2 = 361.4 , então use   n = 362

Resposta

a. O possível erro que poderíamos ter cometido é um erro do Tipo II: não rejeitar a hipótese nula quando ela é realmente verdadeira

b. . 2743

c. n = 362

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