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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios propostos - Ex. 15

Foi estabelecido que um certo tipo de máquina apresenta em média 1,8 falhas mecânicas a cada 6 horas de trabalho. Admitindo poder ser empregada a distribuição de Poisson, calcular a probabilidade:

  1. de 1 máquina apresentar no mínimo 2 falhas, em 6 h de trabalho;
  2. de 1 máquina apresentar 2 a 4 falhas, em 8 h de trabalho;
  3. exatamente 2 máquinas, de um grupo de 4 máquinas iguais, apresentarem no máximo 1 falha em 6 h de trabalho;
  4. no máximo 1 máquina, de um grupo de 5 máquinas iguais, apresentar exatamente 3 falhas em 8 h de trabalho.

Passo 1

Olá pessoal. Vem comigo!

Seja p a probabilidade de ocorrer um sucesso, portanto ( 1 - p ) a probabilidade de ocorrer um insucesso, em cada prova. Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucessos é:

P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

Relembrando que a Distribuição de Poisson é aplicável quando o número de possíveis ocorrências discretas é muito maior que o número médio de ocorrências em um determinado intervalo de tempo ou espaço. A expressão de P x para distribuição de Poisson:

P x = μ x x ! ∙ e - μ

Do enunciado sabemos:

μ = 1,8   f a l h a s

Para o item a) queremos descobrir a probabilidade de uma máquina apresentar no mínimo 2 falhas, em 6 h de trabalho, ou seja P ( x ≥ 2 ) . Primeiramente iremos calcular P ( x < 2 ) .

  • Para nenhuma falha:

    • P 0 = μ x x ! ∙ e - μ = 1,8 0 0 ! ∙ e - 1,8 = 0,1653

  • E para uma falha:

    • P 1 = 1,8 1 1 ! ∙ e - 1,8 = 0,2975

    Portanto a probabilidade de 1 máquina apresentar no mínimo 2 falhas, será:

    P x ≥ 2 = 1 - P 0 + P 1 = 1 - 0,1653 + 0,2975 ∙ 100 %

    P x ≥ 2 = 53,7 %

    Passo 2

    No item b) queremos a probabilidade de 1 máquina apresentar 2 a 4 falhas, em 8 horas de trabalho, porém no enunciado temos a média para 6 horas de trabalho. Então, primeiramente, iremos fazer uma regrinha de 3:

    1,8 → 6   h o r a s       μ → 8   h o r a s

    μ = 1,8 ∙ 8 6 = 2,4   f a l h a s

    Sabendo disso, vamos lá!

  • Para duas falhas:

    • P 2 = μ x x ! ∙ e - μ = 2,4 2 2 ! ∙ e - 2,4 = 0,2613

  • Para três falhas:

    • P 3 = 2,4 3 3 ! ∙ e - 2,4 = 0,2090

  • E para quatro falhas:

    • P 4 = 2,4 4 4 ! ∙ e - 2,4 = 0,1254

    Portanto a probabilidade de 1 máquina apresentar no mínimo 2 falhas, será:

    P x = 2   a   4 = P 2 + P 3 + P 4 = ( 0,2613 + 0,2090 + 0,1254 ) ∙ 100 %

    P = 59,6 %

    Passo 3

    No item c) precisamos primeiramente saber qual a probabilidade de no máximo 1 falha em 6 horas de trabalho, porém já calculamos no Passo 1:

  • P 0 = 0 , 1653
  • P 1 = 0 , 2975

P x ≤ 1 = P 0 + P 1 = 0,1653 + 0,2975

P x ≤ 1 = 0,463

Agora iremos calcular a probabilidade de exatamente 2 máquinas, de um grupo de 4 máquinas iguais, apresentarem no máximo 1 falha em 6 h de trabalho:

  • n = 4
  • x = 2
  • p = 0,463
  • q = 1 - 0,463 = 0,537

    • P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

    P x = 2 = 4 ! 2 ! 4 - 2 ! ∙ 0,463 2 ∙ 0,537 4 - 2 = 0,371

    P x = 2 = 37,1 %

    Passo 4

    No item d) também precisamos da média para 8 horas de trabalho, que já calculamos no Passo 2:

    μ = 2,4   f a l h a s

    Agora precisamos da probabilidade de exatamente 3 falhas em 8 horas de trabalho, que também já calculamos no Passo 2:

    P 3 = 0,2090

    Então vamos calcular a probabilidade de no máximo 1 máquina, de um grupo de 5 máquinas iguais, apresentar exatamente 3 falhas em 8 h de trabalho:

  • n = 5
  • x ≤ 1
  • p = 0,209
  • q = 1 - 0,209 = 0,791

P x = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ ( 1 - p ) n - x

P 0 = 5 ! 0 ! 5 - 0 ! ∙ 0,209 0 ∙ 0,791 5 - 0 = 0,310

P 1 = 5 ! 1 ! 5 - 1 ! ∙ 0,209 1 ∙ 0,791 5 - 1 = 0,409

Então:

P x ≤ 1 = P 0 + P 1 ∙ 100 % = 0,310 + 0,409 ∙ 100 %

P x ≤ 1 = 71,9 %

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

  1. P x ≥ 2 = 53,7 % ;
  2. P = 59,6 % ;
  3. P x = 2 = 37,1 % ;
  4. P x ≤ 1 = 71,9 % .

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