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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 10

Usando um bastão longo de comprimento μ , você traçará um gráfico quadrado em que o comprimento de cada lado é μ . Assim, a área do gráfico será μ 2 . Entretanto, você não conhece o valor de μ , então decide fazer n medições independentes X 1 , X 2 , … , X n do comprimento. Assuma que cada X i tenha média μ (medições não-tendenciosas) e variância σ 2 .

a. Mostre que X ‾ 2 não é um estimador não-tendencioso para μ 2 . [Sugestão: para qualquer va Y , E Y 2 = V ( Y ) + [ E ( Y ) ] 2 . Aplique a expressão com Y = X ‾ . ]

b. Para que valor de k o estimador X ‾ 2 - k S 2 é não-tendencioso para μ 2 ? [Sugestāo: calcule E X ‾ 2 - k S 2 . ]

Passo 1

a. Mostre que X ‾ 2 não é um estimador não-tendencioso para μ 2 . [Sugestão: para qualquer va Y , E Y 2 = V ( Y ) + [ E ( Y ) ] 2 . Aplique a expressão com Y = X ‾ . ]

a.   E X ‾ 2 = V a r ⁡ ( X ‾ ) + [ E ( X ‾ ) ] 2 = σ 2 n + μ 2 , então o viés do estimador X ‾ 2 é σ 2 n ; assim X ‾ 2 tende a superestimar μ 2 .

Passo 2

a. Mostre que X ‾ 2 não é um estimador não-tendencioso para μ 2 . [Sugestão: para qualquer va Y , E Y 2 = V ( Y ) + [ E ( Y ) ] 2 . Aplique a expressão com Y = X ‾ . ]

b. Para que valor de k o estimador X ‾ 2 - k S 2 é não-tendencioso para μ 2 ? [Sugestāo: calcule E X ‾ 2 - k S 2 . ]

b. E X ‾ 2 - k S 2 = E X ‾ 2 - k E S 2 = μ 2 + σ 2 n - k σ 2 , então com k = 1 n , E X ‾ 2 - k S 2 = μ 2

Resposta

a . X ‾ 2 tende a superestimar μ 2 .

b. μ 2

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