Um inspetor, que trabalha para uma companhia de manufatura, tem uma chance de 99% de identificar corretamente itens defeituosos e uma chance de 0,5% de classificar incorretamente um item bom como sendo defeituoso. A companhia tem evidência de que sua linha produz 0,9% de itens não conformes.

1. Qual é a probabilidade de um item selecionado para inspeção ser classificado como defeituoso?
2. Se um item selecionado ao acaso for classificado como não defeituoso, qual é a probabilidade de que ele seja realmente bom?

Na letra a:

Em (a), a probabilidade do evento é necessária. Vamos calcular, usando a lei da probabilidade total dada abaixo:

Aliás, a lei da probabilidade total é o seguinte: Se são mutuamente exclusivos, e , então para qualquer evento , o seguinte é verdadeiro:

As probabilidades de são dadas no exercício. A união de todos os eventos nos dá e são mutuamente exclusivos, conseqüentemente, pela lei da probabilidade total, temos:

Na letra b:

Aqui, a probabilidade do evento é necessária. Para calcular isso, o teorema de Bayes pode ser usado como a união de todos os eventos nos dá e eles são mutuamente exclusivos.

Aliás, falando sobre o teorema de Bayes, para , eventos mutuamente exclusivos e as probabilidades anteriores são . Se é um evento para o qual , então a probabilidade posterior de , dado que ocorreu é:

Então, é verdade que:

Onde (a) e (b) são usados.