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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 7

Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto a urna 2 contém uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso; a seguir uma de suas gavetas é aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta é de ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2?

Passo 1

Esse é um problema clássico em que vamos usar o teorema de Bayes:

P A B = P B A   P A P B

Essa fórmula relaciona a probabilidade condicional de A acontecer dado que B aconteceu com a probabilidade condicional inversa de B acontecer dado que A aconteceu.

Nesse caso, queremos calcular:

P u r n a   2     o u r o ) = P o u r o   u r n a   2 )   P u r n a   2 P o u r o

Passo 2

Como na urna 2 só temos moedas de ouro, é obvio que

P o u r o     u r n a   2 ) = 1

Escolhendo a urna 2 eu com certeza vou pegar uma moeda de ouro!

Já a probabilidade de eu escolher a urna 2 é de 50%, pois eu posso escolher tanto a urna 1 como a urna 2:

P u r n a   2 = 1 2

Já para a probabilidade de pegar uma moeda de ouro, observe que temos ao todo 3 moedas de ouro e 1 de prata, de modo que

P o u r o = 3 4

Passo 3

Daí é só fazer conta:

P u r n a   2     o u r o ) = 1 ⋅ 1 2 3 4 = 2 3

Resposta

P u r n a   2     o u r o ) = 2 3

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