A e B lançam moedas. A começa e continua a jogar a moeda até que dê coroa, instante no qual B passa a jogar a moeda até que também dê coroa. Em seguida, A assume novamente o jogo e assim por diante. Suponha que , seja a probabilidade de dar cara com A jogando a moeda e , seja a probabilidade de dar cara com B jogando a moeda. O vencedor da partida é o primeiro a obter

(a) uma sequência de 2 caras;

(b) um total de 2 caras;

(c) uma sequência de 3 caras;

(d) um total de 3 caras.

Em cada caso, determine a probabilidade de A vencer a partida.

(b) Para esta parte, queremos a probabilidade de A obter um total de 2 caras antes de B. Ao contrário da parte anterior do problema, agora temos que lembrar o número de caras que um determinado jogador já fez. Como esse número torna mais ou menos provável para ele ganhar o jogo.

A motivação para esta solução é que se A começa e tira cara no primeiro lançamento, então A continua jogando. Podemos ver o resto do jogo a partir deste ponto como um novo jogo onde A começa e vence se A obtiver uma cara antes de B obter um total de 2 caras. No caso em que A obtém coroa no primeiro lançamento, B começa a lançar. Podemos ver o resto do jogo como um novo jogo onde B agora começa e A vence se obtiver um total de 2 caras antes de B obter um total de 2 caras.

Motivado por isso, seja A(i, j) o evento A obtém (2 – i) caras antes de B obter (2 – j) caras em um jogo onde A começa e da mesma forma que B(i, j) seja o evento A obtém (2 – i) caras antes de B obter (2 – j) caras em um jogo em que B começa.

Em todos os casos temos 0 ≤ i ≤ 2. Em ambos os eventos A “ganha”. Assim, os índices i e j contam o número de caras que cada jogador já obteve. O problema pede que encontremos P(A(0,0)). Para fazer isso, também será mais fácil calcular P(B(0, 0)) ao mesmo tempo. Então, condicionando o resultado do primeiro lançamento, podemos calcular P(A(i, j)) e P(B(i, j)) como:

Este é um sistema recursivo onde precisamos avaliar P(A(i, j)) e P(B(i, j)) em vários valores de i e j para obter P(A(0, 0)) e P( B(0, 0)). Observe que para avaliar cada um de P(A(i, j)) e P(B(i, j)) usando as expressões acima, precisamos conhecer P(A(i + 1, j)) e P(B(i, j+1)). Ou seja, precisamos de valores de probabilidade nos pontos (i + 1, j) e (i, j + 1). Isso nos motiva a começar com as condições de contorno:

P(A(2, j)) = 1 for 0 ≤ j ≤ 1 P(B(2, j)) = 1 for 0 ≤ j ≤ 1

P(A(i, 2)) = 0 for 0 ≤ i ≤ 1 P(B(i, 2)) = 0 for 0 ≤ i ≤ 1

Fazemos isso usando as equações (v) e (vi) para resolver P(A(i, j)) e P(B(i, j)) em (i, j) = (1, 1); (i, j) = ( 0, 1); (i, j) = (1, 0) e (i, j) = (0, 0).

Para começar, seja i = j = 1:

Dessas duas equações obtemos que:

Agora vamos considerar que seja i = 1 e j = 0:

Dessas duas equações obtemos que:

De modo análogo, para seja i = 0 e j = 1, teremos:

E, finalmente, para i = j = 0, obtemos:

(c) Para esta parte, queremos a probabilidade de A obter 3 caras seguidas antes de B. Da mesma forma que determinamos (a), seja A o evento em que A obtém 3 caras seguidas antes de B em um jogo em que A joga primeiro. Da mesma forma, seja B o evento A obtém 3 caras seguidas antes de B em um jogo onde agora B vai primeiro. Novamente em cada evento o jogador A “ganha”. Novamente, sejam os eventos em que a moeda de A dá cara ou coroa no primeiro, segundo ou terceiro lançamentos. Sejam os eventos em que a moeda do B dá cara ou coroa no primeiro, segundo ou terceiro lançamentos. Condicionando nas primeiras jogadas, temos:

Dada as probabilidades já conhecidas, temos que:

Onde, de modo semelhante, P(B) é dada por:

Dada as probabilidades já conhecidas, temos que:

Por fim, substituindo P(B) em P(A), temos:

(d) Assim como na Parte (b) acima, agora temos que acompanhar o número de caras que cada jogador recebeu enquanto jogava. Agora temos as condições de contorno:

P(A(3, j)) = 1 for 0 ≤ j ≤ 2 P(B(3, j)) = 1 for 0 ≤ j ≤ 2

P(A(i, 3)) = 0 for 0 ≤ i ≤ 2 P(B(i, 3)) = 0 for 0 ≤ i ≤ 2

Com a mesma relação de recursão dada (b) para determinar uma expressão para P(A(0, 0)) e P(B(0, 0)). Vamos esboçar o cálculo que vamos realizar antes de escrever as relações de recorrência, como antes, de modo que sempre seremos capazes de resolver para P(A(·, ·)) e P(B(·, ·)) em cada passo. Escrevemos a relação de recorrência para o ponto (i, j) nas seguintes ordens: (2, 2), (1, 2), (2, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 1), (0, 1), (1, 0), e finalmente (0,0) que será o resultado desejado.

Com um desenvolvimento similar ao encontrado em (b) chegaremos à:

para o valor de , e

para o valor de .