Suponha que você esteja jogando contra um adversário infinitamente rico e que em cada rodada você ganhe ou perca 1 unidade com respectivas probabilidades p e 1 - p. Mostre que a probabilidade de que você termine falido é

onde q = 1 - p e i representa a sua fortuna inicial.

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Seja a probabilidade de você acabar falindo quando sua fortuna inicial for i. Então condicionando o resultado da primeira aposta vemos que satisfaz a seguinte equação diferencial:

Isso simplesmente afirma que a probabilidade de você quebrar quando você tem uma fortuna de i é vezes se você ganhar a primeira aposta (já que se você ganhar a primeira aposta, agora você tem i + 1 como sua fortuna) mais vezes se você perder a primeira aposta (já que se você perder a primeira aposta, você terá i - 1 como sua fortuna).

Para resolver esta equação diferencial, reconhecemos que sua solução deve ser dada em termos de uma constante elevada à potência i, ou seja, . Usando que e inserindo isso na equação acima, descobrimos que α deve satisfazer o seguinte:

Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos:

Daí temos que ou ou

Temos, portanto, que a nossa probabilidade é dada por:

Que pode assumir os valores:

Ou

Que são as nossas duas possibilidades de resultados e que mudam justamente no ponto onde p e q são iguais.