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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 21

Um lote contém n peças, das quais se sabe serem r defeituosas. Se a ordem da inspeção das peças se fizer ao acaso, qual a probabilidade de que a peça inspecionada em k -ésimo lugar ( k ≥ r ) seja a última peça defeituosa contida no lote?

Passo 1

Para que a última das r peças defeituosas seja posicionada no k -ésimo lugar, nos k - 1 lugares anteriores devem estar as demais r - 1 peças defeituosas. Além disso, para que tenhamos r - 1 peças defeituosas nos k - 1 primeiros lugares, devemos ter k - 1 - r - 1 = k - r peças sem defeitos também nesses primeiros k - 1 lugares:

O total de formas que podemos escolher r - 1 peças defeituosas entre as r disponíveis é

C r ,   r - 1 = r

Já o total de formas que podemos escolher k - r peças sem defeito dentre as n - r disponíveis é

C n - r ,     k - r = n - r ! k - r ! n - k !

Além disso, nos k - 1 primeiros lugares podemos fazer k - 1 permutações com r - 1 e k - r repetições:

k - 1 ! r - 1 ! k - r !

Multiplicando esses três números temos o total de formas que podemos distribuir as peças da forma desejada:

r ⋅ n - r ! k - r ! n - k ! ⋅ k - 1 ! r - 1 ! k - r !

Passo 2

Para calcular a probabilidade temos que dividir o total achado no passo 1 pelo total de formas de organizar as n peças. Para isso, basta fazer uma permutação de n elementos com r e n - r repetições:

t o t a l = n ! r ! n - r !

Daí, a probabilidade é só dividir o resultado do passo 1 pelo total:

P = r ⋅ n - r ! k - r ! n - k ! ⋅ k - 1 ! r - 1 ! k - r ! n ! r ! n - r !

Ou ainda,

P = r n - r ! k - 1 ! r ! n - r ! k - r ! n - k ! r - 1 ! k - r ! n !

É um pouco feio, mas essa é a expressão...

Podemos escrever r ! = r ⋅ r - 1 ! no numerador, o que simplifica com o n - 1 ! do denominador:

P = r 2 n - r ! k - 1 ! n - r ! k - r ! n - k ! k - r ! n !

Resposta

P = r 2 n - r ! k - 1 ! n - r ! k - r ! n - k ! k - r ! n !

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