Exercícios de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação - Lista de Exercícios Resolvida

Um banco possui um cofre que possui uma tranca com combinação. A tranca requer oito diferentes inteiros entre 1 e 90, que devem ser colocados em qualquer ordem. Entretanto, a tranca permite que 10 inteiros diferentes variando entre 1 e 90 sejam utilizados como uma combinação, ou seja, a tranca abrirá se 8 dos 10 números da combinação forem colocados. Encontre a probabilidade de que um ladrão abra a porta na primeira tentativa.

De um baralho de 52 cartas extraímos quatro simultaneamente.

a) Quantas são as possibilidades de sorteio das cartas?

b) Quantos resultados apresentam, entre as cartas sorteadas, o rei de espadas?

c) Quantos resultados apresentam exatamente dois ases?

Em um instituto de pesquisa trabalham, entre outros funcionários, 3 físicos, 6 biólogos e 2 matemáticos. Deseja-se formar uma equipe com 4 desses 11 estudiosos, para realizar uma pesquisa. Se essa equipe for composta escolhendo-se os pesquisadores de forma aleatória, a probabilidade de todos os físicos serem escolhidos é um número cujo valor está compreendido entre:

a)0,00 e 0,01

b)0,01 e 0,02

c)0,02 e 0,03

d)0,03 e 0,04

e) 0,04 e 0,05

Uma urna contém bolas brancas e bolas pretas. São retiradas bolas sem reposição. Qual a probabilidade de serem obtidas bolas de cada cor?

De quantas formas podemos distribuir 15 diferentes livros em 4 caixas iguais, sendo 3 caixas com 4 livros e uma com 3?

Enuncie a relação de Stifel.

Considere o seguinte problema e resolva conforme pede em cada letra: De quantas maneiras posso usar os 28 ingressos que tenho com 5 diferentes brinquedos de um parque, se desejo ir em cada brinquedo pelo menos 2 vezes e no máximo 7? (Não interessa a ordem do uso, apenas quantas vezes em cada brinquedo.)

a) Modele o problema com uma equação de coeficientes unitários e busque o número de soluções inteiras adequadas usando o princípio de inclusão e exclusão.

b) Escreva a função geradora ordinária na "forma fechada" para o problema e resolva

procurando o coeficiente adequado.

a) Escreva a função geradora (também na "forma fechada") que pode ser usada para encontrar o número de partições de n, um inteiro positivo qualquer, com maior parte igual a k.

b) (0,5) Justifique porque essa função também pode ser usada para o problema de encontrar o número de partições de n com exatamente k partes.

c) (0,5) Exemplifique a função descrita no item a) para n = 10 e k = 3.

Considere o seguinte problema e resolva conforme pede em cada letra: De quantas maneiras podemos pintar 23 bolas iguais se temos tintas amarela, azul e vermelha suficientes para pintar no máximo 8 bolas com a mesma cor, e queremos usar cada cor pelo menos 3 vezes?

a. Modele o problema com uma equação de coeficientes unitários e busque o número de soluções inteiras adequadas.

b. Escreva a função geradora ordinária na "forma fechada" para o problema e resolva procurando o coeficiente adequado.

1.Escreva uma relação de recorrência que determina o número de regiões do plano determinadas por n circunferências concêntricas em um dado ponto P com raios distintos e n retas concorrentes em P; para n 1. Determine a solução.

Enuncie e demonstre o Teorema das Diagonais.

Desde janeiro até final de abril de , cerca de da população brasileira contraiu o vírus da dengue (fonte: Boletim Epidemiológico da Secretaria de Vigilância em Saúde – Ministério da Saúde, vol., n., ).

Suponha que um teste sanguíneo para detectar o vírus da dente seja tal que, dado que as pessoas contraíram o vírus, dê resultado positivo em dos casos, e dado que as pessoas não contraíram o vírus, dê negativo em dos casos. Suponha que uma pessoa faz o teste e o resultado dá positivo. Qual a probabilidade desta pessoa ter de fato o vírus da dengue?

Responda:

1. De quantas formas podemos pendurar os seguintes pingentes num bracelete (peça inteira, sem fechamento): de e de ; se desejamos que e fiquem juntos?

Responda:

1. Num grupo de moças e rapazes, de quantas formas podemos escolher uma equipe com pessoas tendo pelo menos moças?

Responda:

1. De quantas maneiras podemos distribuir alunos numa fila com lugares de forma que tenha sempre pelo menos uma cadeira vazia entre quaisquer dois deles?

2a) Quantas são as formas de distribuir 20 balas por 5 crianças sendo que, dentre estas, João e Maria ganham pelo menos 3 balas cada?

Quantas sequências ternárias (com componentes em {0, 1, 2}) existem nas quais o número de 1’s é par?

Um grupo de 10 amigos resolve almoçar num restaurante que tem 15 diferentes opções de pratos individuais. Sabendo que 3 amigos são alérgicos a crustáceos e há 4 opções com crustáceos no cardápio, quantos pedidos (comandas individuais) diferentes podem ser feitos?

Quantos números de 5 dígitos divisíveis por 5 existem? E com dígitos diferentes?

São oferecidos 6 tipos de doces e 10 de salgados. De quantas formas podemos escolher 4 itens diferentes tomando no máximo 2 salgados?

2b) De quantas formas podemos comprar 5 ingressos se temos 12 brinquedos disponíveis num parque?

A polícia rodoviária inspeciona em média veículos por hora em um ponto da estrada. Historicamente há veículo irregular a cada inspecionados. Na última hora foram encontrados veículos irregulares. Para avaliar se a média mudou para veículos irregulares a cada inspecionados o policial calcula a probabilidade de ser razoável a ocorrência da última hora. O valor encontrado é:

Responda:

1. Um dominó tem diferentes peças. De quantas formas podemos distribuir em cada uma de caixas iguais, deixando fora?
2. De quantas formas podemos ordenar casais numa ciranda com os casais de mãos dadas?
3. De quantas maneiras podemos ordenar os símbolos: a, a, b, b, c, d, e; sem que letras iguais fiquem vizinhas?
4. De quantas maneiras podemos ordenar as letras de “ESCOLHA” se as vogais continuam ocupando as posições 1ª, 4ª e 7ª, e cada consoante não deve ocupar o lugar original?

Escreva a função geradora ordinária na "forma fechada" para cada seqüência:

a) (0,5) (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)

b) (0,5) (0, 0, 2, 0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, ...)