Enunciado
Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 8
A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com média μ e desvio padrão 10 g.
- Em quanto deve ser regulado o peso médio μ para que apenas 10% dos pacotes tenham menos do que 500 g?
- Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a ?
Passo 1
Oi, oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora.
Nessa questão, temos uma máquina de empacotar um produto doido lá.
Sabemos que ela empacota seguindo uma distribuição normal com média e desvio padrão Olha essa unidade do desvio padrão aí! Podemos perceber que a variável aleatória da nossa distribuição normal vai ser o quê? Vai ser o peso do produto no pacote.
Beleza, sabemos o desvio padrão desse peso, mas não sabemos a média, ou seja, não conhecemos o peso médio. E olha só, é isso que a questão nos pede. Qual deve ser o nosso peso médio (em outras palavras, a média da nossa distribuição) para que apenas 10% dos pacotes tenham menos do que 500g...
Vamos tentar escrever uma expressão para isso
Passo 2
Ok, nosso primeiro passo vai ser transformar o enunciado em números.
Olhando bem, o que nós queremos, é que a nossa probabilidade de encontrar um pacote com menos que 500g seja de 10%... ou seja, precisamos que:
Agora a gente padroniza essa normal aí...
Agora, temos que tomar um cuidado aqui...
Como queremos que apenas 10% dos pacotes possuam menos que 500g, a nossa média tem que ser maior que 500g, certo?
Ou seja, aquele termo vai resultar em um valor negativo, o que não queremos, e por conta disso, temos que inverter os sinais da nossa probabilidade, fazendo:
E o próximo passo é fazer:
E não podemos esquecer o que queremos desde o início, que essa probabilidade toda dê 10%!
Tá lindo!
Bom, o próximo passo é encontrar na nossa tabela da normal padrão, qual valor vai retornar uma probabilidade de 0,9.
Passo 3
Olhando na tabela, vêmos que o valor que retorna uma probabilidade de 0,9 está entre o 1,28 e o 1,29, vamos usar então a média entre eles, 1,285.
Agora igualamos o valos do nosso com o valor que a tabela nos deu.
Ou seja, encontramos aí a nossa média com a qual apenas 10% dos pacotes terão menos que 500g, e esse peso médio é de 512,85g!
Passo 4
Pronto! Agora na letra b), consideramos que a nossa máquina está regulada, ou seja, tende a uma distribuição normal com a média que encontramos na letra a) e o desvio padrão dado no enunciado.
Agora, vamos pegar 4 pacotes ao acaso, essa será a nossa amostra. Sabemos que a nossa amostra, também tende a uma distribuição normal com a mesma média que a população e o variância da amostra vai ser igual a variância populacional dividido pelo número de amostras, isso é,
Podemos assim escrever a nossa distribuição normal para a nossa amostra.
Se liga que o enunciado deu para a gente o desvio padrão populacional () e aqui nós queremos a variância populacional (), por isso que usamos o 100 na expressão ali em cima.
Beleza, agora vamos analisar qual a probabilidade que queremos. Queremos a probabilidade de que na nossa amostra, que possui 4 pacotes, tenhamos um peso menor que 2000g.
Em outras palavras, queremos encontrar a probabilidade de que o peso de 4 amostras quando somadas dêem menos que 2000g e isso é o mesmo que a probabilidade da nossa distribuição ter uma média menor que 500g.
Agora é aquilo, padroniza a normal, e como estamos atuando na nossa amostra, a padronização vai ter essa cara aqui
Como já esperávamos, caímos num número negativo, então invertemos o sinal.
E reescrevemos:
Agora é só olhar o que a tabela normal padrão nos dá para 2,57...
Da tabela temos:
Portanto...