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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 22

Como um modelo simplificado de previsão do tempo, suponha que o tempo amanhã (seco ou úmido) será o mesmo de hoje com probabilidade p. Mostre que, se o tempo está seco em 1° de janeiro, então P n , a probabilidade de que ele esteja seco n dias depois, satisfaz

P n = 2 p - 1 P n - 1 + 1 - p ,     n ≥ 1

P 0 = 1

Demonstre que

P n = 1 2 + 1 2 2 p - 1 n ,     n ≥ 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para clarificar, vamos definir os eventos

A n - s e   e s t a r á   s e c o   n   d i a s   a p ó s   1 º   d e   j a n e i r o

Vamos definir as seguintes probabilidades

P A n = P n

P A n A n - 1 = p

P A n c A n - 1 c = p

P 0 = 1

A fórmula de probabilidade total vai ser dada como:

P A n = P A n A n - 1 P A n - 1 + P A n c A n - 1 c P A n - 1 c ,     n ≥ 1

O primeiro termo do lado direito é p ∙ P n - 1

Passo 2

Fórmula para a probabilidade de um complemento dá

P A n - 1 c = 1 - P A n - 1 = 1 - P n - 1

P A n A n - 1 c = 1 - P A n c A n - 1 c = 1 - p

Transformando a fórmula, nós temos que

P n = p P n - 1 + 1 - p 1 - P n - 1 ,     n ≥ 1

O que é equivalente a

P n = 2 p - 1 P n - 1 + 1 - p ,     n ≥ 1

Logo

P n = 1 2 + 1 2 ∙ 2 p - 1 n ,     n ≥ 0

Vamos provar por indução matemática

Passo 3

Para n = 0 , nós temos que

P 0 = 1 2 + 1 2 ∙ 2 p - 1 0 = 1

Supondo que a fórmula é verdade para um n ∈ N , então, para n + 1   para a primeira parte do exercício é verdadeiro em

P n + 1 = 2 p - 1 P n + 1 - p ,     n ≥ 0

e como a fórmula é verdadeira para n

P n + 1 = 2 p - 1 1 2 + 1 2 ∙ 2 p - 1 n + 1 - p

Fazendo uma manipulação algébrica, nós temos que

P n + 1 = 1 2 ∙ 2 p - 1 n + 1 + 1 2

E uma vez que esta afirmação é válida, a fórmula é verdadeira para todos n ∈ N .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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