Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 24
Disputa-se um torneio com n competidores em que cada um dos pares de competidores joga entre si exatamente uma vez, com o resultado de cada partida sendo a vitória de um dos competidores e a derrota do outro. Para um inteiro fixo k, k
dores, exista um jogador que vença cada membro do conjunto. Mostre que se
então tal resultado é possível.
Dica: Suponha que os resultados das partidas sejam independentes entre si e que cada partida tenha a mesma probabilidade de ser vencida por cada um dos competidores. Numere os conjuntos de k competidores e faça com que B, represente o evento em que nenhum competidor derrota todos os k jogadores no i-ésimo conjunto. Então use a desigualdade de Boole para limitar .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Se não ocorreu, pelo menos uma ocorreu, e vice-versa, ou seja,
A inequação de Boole, derivado da fórmula dos estados de inclusão e exclusão para
qualquer número de eventos, aqui
Desde que esses valores de são simétricos, as probabilidades são as mesmas
Passo 2
A probabilidade de um determinado jogador vencer cada jogo contra os jogadores observados é
Já que os jogos são independentes. Isso deve acontecer para cada um dos outros jogadores. Esses eventos são independentes, pois são definidos por resultados de jogos diferentes, pelos jogadores envolvidos.
A probabilidade de que nenhum dos jogadores tenha vencido o observado é:
Passo 3
Substituindo isso na fórmula obtemos:
Portanto, se
Então e isso é equivalente a .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)