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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 36

Uma moeda equilibrada é jogada 2 n vezes.

a) Obtenha a probabilidade de que ocorrerá um igual número de caras e coroas;

b) Mostre que a probabilidade calculada em (a) é uma função decrescente de n .

Passo 1

Bom, se você já viu distribuição binomial esse problema é bem tranquilo. Se você não viu relaxa que eu vou explicar tudinho para você!

Vamos lançar uma moeda 2 n vezes e queremos que saiam n caras e n coroas (metade de cada um). Em um lançamento, a probabilidade de sair cara ou coroa é 1 / 2 , de modo que para sair n caras temos:

P n   c a r a s = 1 2 n

Já para sair n coroas:

P n   c o r o a s = 1 2 n

Para que saiam n caras e n coroas, nós multiplicamos as duas:

1 2 n ⋅ 1 2 n = 1 2 2 n

Passo 2

Muita gente pode achar que o resultado do passo 1 já é a resposta, mas cuidado: ele se trata apenas da probabilidade de sair n caras e n coroas em uma determinada ordem. Temos que considerar todas as ordens possíveis...

Para fazer isso, temos que fazer uma permutação com 2 n elementos com n e n repetições:

( 2 n ) ! n ! n !

Daí, é só multiplicar esse número pela probabilidade do passo 1 que temos a resposta do item (a):

P n   c a r a s   e   n   c o r o a s = ( 2 n ) ! n ! n ! ⋅ 1 2 2 n

Passo 3

No item (b) temos que mostrar que essa probabilidade é uma função decrescente de n . Para isso, vamos considerar:

P n = ( 2 n ) ! n ! n ! ⋅ 1 2 2 n                 e             P n + 1 = 2 n + 1 ! n + 1 ! n + 1 ! ⋅ 1 2 2 n + 1

Daí, vamos tomar a razão:

P n + 1 P n = 2 n + 2 ! n + 1 ! n + 1 ! 2 2 n + 2 ⋅ 2 2 n   n ! n ! ( 2 n ) !

Podemos rearranjar os termos:

P n + 1 P n = 2 2 n 2 2 n + 2 ⋅ 2 n + 2 ! 2 n ! ⋅ n ! n + 1 ! 2

Daí,

2 2 n 2 2 n + 2 = 1 2 2 = 1 4

2 n + 2 ! 2 n ! = 2 n + 2 2 n + 1 2 n ! 2 n ! = ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 )

n ! n + 1 ! = n ! n + 1 n ! = 1 n + 1

Portanto,

P n + 1 P n = 1 4 ⋅ 2 n + 2 2 n + 1 ⋅ 1 n + 1 2

Ou ainda,

P n + 1 P n = 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 4 n + 1 2 = 2 n + 1 2 ( n + 1 ) = 2 n + 1 2 n + 2

É fácil perceber que 2 n + 2 > 2 n + 1 , já que

2 n + 2 = 2 n + 1 + 1

Portanto,

2 n + 1 2 n + 2 < 1 → P n + 1 P n < 1

Com isso,

P n + 1 < P n

Isso mostra que a probabilidade é decrescente com n .

Resposta

P n   c a r a s   e   n   c o r o a s = ( 2 n ) ! n ! n ! ⋅ 1 2 2 n

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