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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 20

Considere duas urnas, cada uma contendo bolas brancas e pretas. As probabilidades de se retirarem bolas brancas da primeira e da segunda urnas são, respectivamente, p e p'. Bolas são retiradas sequencialmente das urnas e em seguida recolocadas de acordo com o seguinte esquema: com probabilidade α , retira-se inicialmente uma bola da primeira urna, e, com probabilidade 1 - α , retira-se uma bola da segunda urna. As escolhas subsequentes são então realizadas de acordo com a regra de que sempre que uma bola branca for sacada (e recolocada), a próxima bola é retirada da mesma urna, mas quando uma bola preta é sacada, a próxima bola é retirada da outra urna. Seja α n a probabilidade de que a n-ésima bola seja escolhida da primeira urna. Mostre que

α n + 1 = α n p + p ' - 1 + 1 - p ' ,     n ≥ 1

E use essa fórmula para provar que

α n = 1 - p ' 2 - p - p ' + α - 1 - p ' 2 - p - p ' × p + p ' - 1 n - 1  

Seja P n a probabilidade de que a n-ésima bola selecionada seja branca. Determine P n . Além disso, calcule lim n → ∞ ⁡ α n e lim n → ∞ ⁡ P n .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para facilitar o nosso lado, vamos definir os eventos

F n -   a   n - é s i m a   b o l a   é   r e t i r a d a   d o   p r i m e i r o   r e c i p i e n t e

W n - A   n - é s i m a   b o l a   é   b r a n c a  

Agora vamos passar para as probabilidades, nós temos

p = P W n F n

p ' = P W n F n c

α n = P F n

P n = P W n

O experimento tem o seguinte significado

P F n + 1 F n = P W n F n = p

P F n + 1 F n c = P W n c F n c = 1 - p '

Pela fórmula da probabilidade total, nós temos que

P F n + 1 = P F n + 1 F n P F n + P F n + 1 F n c P F n c

A probabilidade de um complemento é calculada assim P F n c = 1 - P ( F n ) . Agora se mudarmos a equação para a nomenclatura do exercício, obtemos:

α n + 1 = p + p ' - 1 α n + 1 - p '

É claro que, para a fórmula da probabilidade total, o predecessor F n de F n + 1 deve existir, então esta fórmula é verdadeira para n ≥ 1 , e é definido que α 1 = α .

Passo 2

Agora, vamos usar da indução matemática para fazer a prova, para n = 1 , fórmula é concorrente com o conhecido α 1 .

α 1 = 1 - p ' 2 - p - p ' + α - 1 - p ' 2 - p - p ' p + p ' - 1 0 = 1 - p ' 2 - p - p ' + α - 1 - p ' 2 - p - p ' = α

Se a fórmula vale para algum n ∈ N , então vale para n + 1 porque:

α n + 1 = p + p ' - 1 α 1 + ( 1 - p ' )

Com isso, nós temos

α n + 1 =   p + p ' - 1 1 - p ' 2 - p - p ' + α - 1 - p ' 2 - p - p ' p + p ' - 1 n - 1 + 1 - p '  

Logo

α n + 1 = 1 - p ' 2 - p - p ' + α - 1 - p ' 2 - p - p ' p + p ' - 1 n

Pelo princípio da indução matemática, nós provamos o fato para ∀ n ∈ N

Passo 3

Para encontrar P n , vamos usar a fórmula da probabilidade total, com isso, obtemos o seguinte resultado

P n = P W n = P W n F n P F n + P W n F n c P ( F n c )

Mudando para os nomes usados ​​no exercício

P n = p α n + p ' 1 - α n

Que é basicamente

P n = p - p ' α n + p '

Agora, vamos calcular os limites

Passo 4

Para o lim n → ∞ ⁡ α n , nós temos

lim n → ∞ ⁡ α n =   lim n → ∞ ⁡ 1 - p ' 2 - p - p ' + α - 1 - p ' 2 - p - p ' p + p ' - 1 n - 1

Retirando as constantes do limite

lim n → ∞ ⁡ α n =   1 - p ' 2 - p - p ' + α - 1 - p ' 2 - p - p ' lim n → ∞ ⁡ p + p ' - 1 n - 1

Desde que p , p ' ∈ [ 0,1 ] , o que é verdade para p + p ' - 1 ∈ [ - 1,1 ] se p + p ' - 1 ∈ - 1,1 , logo

lim n → ∞ ⁡ p + p ' - 1 n - 1 = 0

Portanto, se p + p ' - 1 ∈ - 1,1

lim n → ∞ ⁡ α n = 1 - p ' 2 - p - p '

Se p = p ' = 1

lim n → ∞ ⁡ α n =   1 - p ' 2 - p - p ' + α - 1 - p ' 2 - p - p ' = α  

Se p = p ' = 0 , fica da seguinte forma

α 2 n + 1 = α ,     α 2 n = 1 - α

Passo 5

No caso de lim n → ∞ ⁡ P n

lim n → ∞ ⁡ P n = lim n → ∞ ⁡ p - p ' α n + p '

Tirando a constante, nós obtemos o seguinte resultado

lim n → ∞ ⁡ P n = ( p - p ' ) lim n → ∞ ⁡ α n + p '

Se 0 < p ,   p ' < 1

lim n → ∞ ⁡ P n = p - p ' 1 - p ' 2 - p - p ' + p '

Se p = p ' = 1 →   lim n → ∞ ⁡ P n = p - p ' α + p ' = 1 . Para p = p ' = 0 , o limite não existe

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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