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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Exercícios Teóricos - Ex. 18

Mostre que

Dica: Use um argumento similar aquele empregado para estabelecer a Equação (4.1).

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos demonstrar outra identidade.

n n 1 , n 2 , … , n r = n - 1 n 1 - 1 , n 2 , … , n r + n - 1 n 1 , n 2 - 1 , … , n r + … + n - 1 n 1 , n 2 , … , n r - 1

Essa é uma igualdade entre números multinominais.

n n 1 , n 2 , … , n r

Este número é a quantidade de formas de escolher, dentre n pessoas, grupos com n k pessoas cada, onde ∑ n k = n . Ou seja, a soma dos números de baixo seja igual ao de cima.

Passo 2

Mas se fixarmos a primeira pessoa no primeiro grupo, poderíamos formar este grupo de n - 1 n 1 - 1 , n 2 , … , n r diferentes formas. E poderíamos fazer a mesma analogia para todos os k diferentes grupos, ou seja, podemos ou colocar a primeira pessoa no primeiro grupo, ou no segundo, ou ..., ou no último. Assim teríamos contado todos os casos possíveis.

Então pelo princípio aditivo teríamos que somar cada um destes casos. Logo:

n n 1 , n 2 , … , n r = n - 1 n 1 - 1 , n 2 , … , n r + n - 1 n 1 , n 2 - 1 , … , n r + … + n - 1 n 1 , n 2 , … , n r - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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