Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 60
A cor dos olhos de uma pessoa é determinada por um único par de genes. Se eles forem ambos genes de olhos azuis, então a pessoa terá olhos azuis; se eles forem ambos genes de olhos castanhos, então a pessoa terá olhos castanhos; e se um deles for um gene de olhos castanhos e o outro de olhos azuis, então a pessoa terá olhos castanhos (por causa disso, dizemos que o gene de olhos castanhos é dominante em relação ao de olhos azuis). Uma criança recém-nascida recebe independentemente um gene de olhos de cada um de seus pais, e o gene que ele recebe tem a mesma probabilidade de ser de qualquer um dos tipos de gene daquele pai. Suponha que João e seus pais tenham olhos castanhos, mas que sua irmã tenha olhos azuis.
A - Qual é a probabilidade de que João possua um gene de olhos azuis?
B - Suponha que a esposa de João tenha olhos azuis. Qual é a probabilidade de que seu primeiro filho tenha olhos azuis?
C - Se seu primeiro filho tiver olhos castanhos, qual é a probabilidade de que seu próximo filho também tenha olhos castanhos?
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Nos é dado as seguintes informações:
A -
De acordo com o texto acima, tudo o que resta é somar as probabilidades de duas eventos exclusivos:
Com isso, nós temos que
Passo 2
B – Esposa de João = (b,b) – olhos azuis,
Este evento pode ser dividido em casos de João ter o gene de olhos azuis (chame isso de evento de , com isso
Com isso,
A mãe certamente transmite o gene dos olhos azuis, e o pai com probabilidade se ele tiver um gene de olhos azuis, e 0 se não tiver. A criança só tem olhos azuis se herdou dois genes de olhos azuis, portanto:
Passo 3
C -
A única maneira de o primeiro filho ter olhos castanhos é herdar um gene de olhos castanhos do pai, sendo assim .
O primeiro filho com olhos castanhos altera a probabilidade de o pai ter olhos azuis
gene dos olhos
Mostrando o nomeador pela fórmula inversa de probabilidade condicional e observando que o denominador é complemento de , com o conhecimento de que a esposa tem olhos azuis rende:
A probabilidade de a criança herdar o gene castanho, ou seja, é se o pai tiver um e um é .
Condição sobre os genes do pai. Observe que a condição de que o primeiro filho tenha olhos castanhos desaparece porque o primeiro e o segundo genes filhos são independentes dados os genes dos pais.
Que é igual a