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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 12

Mostre que, se 0 ≤ a i ≤ 1 ,   i = 1,2 , … , então

∑ i = 1 ∞ a i ∏ j = 1 i - 1 1 - a j + ∏ i = 1 ∞ ( 1 - a i ) = 1

Dica: Suponha que um número infinito de moedas seja jogado, que a, seja a probabilidade de que a i-ésima moeda dê cara, e considere a ocorrência da primeira cara.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Uma sequência de experimentos independentes é realizada infinitas vezes i = 1,2 , 3 , … cada vez que a probabilidade de sucesso é denotada por a i ∈ [ 0,1 ] .

Com probabilidade 1, o primeiro sucesso é no k-ésimo experimento, para k = 1,2 , 3 , … ou

todos os experimentos resultam em fracasso, pois todos esses eventos são mutuamente exclusivos:

∑ k = 1 ∞ P O   p r i m e i r o   s u c e s s o   n o   k - é s i m o   e x p e r i m e n t o + P S e m   s u c e s s o = 1

O primeiro sucesso no k-ésimo experimento é um evento no qual os primeiros k - 1 experimentos terminam em falha, com probabilidades 1 - a i ,     i ≤ k , e o k-ésimo experimento resulta em sucesso, a independência rende a seguinte fórmula:

P O   p r i m e i r o   s u c e s s o   n o   k - é s i m o   e x p e r i m e n t o = a k ∏ i = 1 k - 1 ( 1 - a i )

Passo 2

Todos os experimentos são independentes e a probabilidade de que o i-ésimo resulte em falha é ( 1 - a i ) , portanto, a probabilidade de todos os experimentos terminarem em fracasso é

P s e m   s u c e s s o = ∏ i = 1 ∞ 1 - a i

Substituindo os resultados, nós temos que

∑ i = 1 ∞ a i ∏ j = 1 i - 1 1 - a j + ∏ i = 1 ∞ ( 1 - a i ) = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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