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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 18

Seja Q n a probabilidade de que nenhuma série de 3 caras consecutivas apareça em n jogadas de uma moeda honesta. Mostre que

Q n = 1 2 Q n - 1 + 1 4 Q n - 2 + 1 8 Q n - 3

Q 0 = Q 1 = Q 2 = 1

Determine Q 8 .

Dica: Condicione na primeira coroa.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos primeiramente identificar os eventos, com isso, nós temos que

n - l a n ç a m e n t o s   d e   u m a   m o e d a   j u s t a  

S n - N ã o   e x i s t e m   t r ê s   c a r a s   c o n s e c u t i v a s

A i - A   p r i m e i r a   c o r o a   é   i = 1,2 , … , n

Com isso, temos as seguintes probabilidades:

P S n = Q n

P A 1 = 1 2

P A 2 = 1 2 ∙ 1 2 = 1 4

P A 3 = 1 2 3 = 1 8

Essas probabilidades foram obtidas usando a independência das mesmas.

Passo 2

O evento pode ser dividido por quando a primeira cauda ocorreu. Uma primeira coroa só pode ocorrer no primeiro, segundo ou terceiro lançamento se não houver três caras consecutivas.

P S n = P S n A 1 + P S n A 2 + P ( S n A 3 )

E desde que A 1 , A 2 , A 3   são mutuamente exclusivos, assim como essas interseções.

Como todos os eventos são independentes, após a primeira coroa, ​​os lançamentos restantes agem independentemente novamente como a cadeia inicial, apenas menor em tamanho. Portanto:

P S n A 1 = P A 1 P S n - 1

P S n A 2 = P A 2 P S n - 2

P S n A 3 = P A 3 P ( S n - 3 )

Substituindo isso na equação, e mudando a notação P S n - 1 = Q n , obtemos a identidade recursiva

Q n = 1 2 Q n - 1 + 1 4 Q n - 2 + 1 8 Q n - 3

E

Q 0 = Q 1 = Q 2 = 1

Os pontos de partida Q 0 , Q 1 , Q 2 também são congruentes com o significado de Q n

Passo 3

Para determinar Q 8 , vamos retornar a fórmula recursiva

Q n = 1 2 Q n - 1 + 1 4 Q n - 2 + 1 8 Q n - 3

Com isso,

Q 8 = 1 2 ∙ 81 128 + 1 4 ∙ 11 16 + 1 8 ∙ 3 4 = 149 256

Resposta

Q 8 = 149 256

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