Mostre que n k = n n - k . Forneça uma interpretação envolvendo subconjuntos.

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos desenvolver a primeira parte, depois a segunda e comparar os valores obtidos, e assim demonstrar o que é pedido pelo enunciado.

n k = n ! k ! n - k !   ( I )

Na segunda parte, desenvolvendo ficamos com:

n n - k = n ! k ! n - k !   ( I I )

Concluímos que ( I ) e ( I I ) são iguais, logo está demonstrado a igualdade.

A explicação com subconjuntos é o número de subconjuntos de tamanho k = o número de subconjuntos de tamanho n-k, porque para cada subconjunto de tamanho k corresponde exatamente a um subconjunto de tamanho n-k (os n-k objetos que não estão no subconjunto de tamanho k).

Resposta

Vide demonstração.

Exercícios de Livros Relacionados