Se não houver restrições quanto ao posicionamento dos números e das letras, quantas placas de carro com 8 caracteres formadas por 5 letras e três números serão possíveis se não for permitida a repetição de letras ou números? E se os 3 números tiverem que ser consecutivos??

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos emplacar carros.

Escolheremos primeiro as 3 posições dos números e consequentimente as das 4 letras já estarão determinadas.

Ou seja, 8 3 = 56 combinações de lugares possivei para colocarmos os dígitos.

Passo 2

E existem 26 letras no nosso alfabeto e 10 dígitos.

a) Caso não pudermos repetir as letras e os números, para o primeiro numero haverão 9 opções e para o segundo numero 8 e para o terceiro digito 7. Pelo Princípio fundamental da Contagem (PFC) haverá 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 formas de escolher os três dígitos utilizados.

E pelo mesmo argumento há 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 = 7   893   600

Portanto pelo PFC haverá 56 ⋅ 720 ⋅ 7   893   600 = 3.18269952 ⋅ 10 11 , aproximadamente 318 bilhões de diferentes placas de carro.

Se os números devem ser consecutivos, então há 6 posições possíveis para os números. Nesse

caso, há placas diferentes.

Passo 3

Mas caso os números tenham que ser consecutivos, irá mudar apenas o termo inicial da nossa contagem (o 56 ), agora basta escolhermos a posição do primeiro número que os próximos 3 serão os seguintes.

Este primeiro número pode ocupar qualquer posição entre o primeiro e o sexto digito da placa. Totalizando apenas 6 opções invés de 56. Trocando este número no cálculo anterior teremos:

6 ⋅ 720 ⋅ 7   893   600 = 3.4100352 ⋅ 10 10

Reduzindo o número de placas possíveis para aproximadamente 34 bilhões.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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