Enunciado

(a) Se N pessoas, incluindo A e B, são dispostas aleatoriamente em linha, qual é a probabilidade de que A e B estejam uma ao lado da outra?

(b) E se as pessoas tivessem sido dispostas aleatoriamente em círculo

Passo 1

a. Essa aqui, é pra aguçar um pouco a imaginação, primeiro se as pessoas estiverem dispostas em linha:

Nesse caso vamos pensar que temos n pessoas dispostas na fila p1.p2.p3._____.p(n-1).pn. Logo de cara, sabemos que elas podem ficar arranjadas de n ! formas distintas (permutação de n pessoas). Se A e B tiverem que ficar juntas eu vou ter (n-2) pessoas pra organizar nessa fila só que é como se eu tivesse (n-1) lugares, o que nos dá n - 1 . ( n - 2 ) possibilidades, porém, não podemos esquecer que podemos arranjar A e B de duas formas diferentes AB ou BA, daí temos um total de possibilidades favoráveis de 2 ( n - 1 ) ( n - 2 ) .

Nossa probabilidade fica então:

P = f a v o r a v e i s p o s s i v e i s = 2 ( n - 1 ) ( n - 2 ) n ! = 2 n

Passo 2

b. Agora, temos que recorrer lá na ideia de permutação circular que diz que a n - 1 ! maneiras distintas de dispor n pessoas ao redor de um círculo. No caso da questão, vamos pensar de forma semelhante ao item (a). pensando que A e B são uma única pessoa teremos n - 1 pessoas pra permutar, que pela permutação circular dá n - 2 ! maneiras distintas. Mas não podemos esquecer dos casos AB e BA, ou seja, o número de maneiras distintas será 2 n - 2 !

P = 2 n - 2 ! n - 1 ! = 2 n - 1

Resposta

a. 2 n

b. 2 n - 1

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Prove as seguintes relações: F = F E ⋃ F E c eE ⋃ F = E ⋃ E c F .