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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatística Aplicada Farber e Larson- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 38

Problema do aniversário - Você está em uma sala que tem 24 estudantes. Você quer encontrar a probabilidade de que pelo menos dois estudantes compartilham a mesma data de aniversário.

(a) Primeiro, encontre a probabilidade de que cada estudante tenha uma data de aniversário diferente.

(b) A probabilidade de que pelo menos dois estudantes tenham a mesma data de aniversário é o complemento da probabilidade da parte (a). Qual é essa probabilidade?

(c) Use uma ferramenta de tecnologia para simular o “problema do aniversário”, gerando 24 números aleatórios de 1 a 365. Repita a simulação 10 vezes. Em quantas você obteve pelo menos duas pessoas com a mesma data de aniversário?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Vamos supor que há 365 dias em um ano. A regra de multiplicação para eventos independentes é dada por

P A   e   B = P A × P ( B )

Assumindo que os 24 alunos não são relacionados e selecionados aleatoriamente, os eventos para pessoas diferentes são independentes. O aniversário da primeira pessoa pode ser qualquer dia, a segunda pessoa precisa ter um aniversário diferente da primeira pessoa, a terceira pessoa precisa ter um aniversário diferente dos outros dois aniversários e assim por diante.

P N e n h u m a   c o m p a r t i l h a   a n i v e r s á r i o = P Q u a l q u e r   d i a × … × P ( D i f e r e n t e   d a s   o u t r a s   23 )

Colocando isso em termos matemáticos

P N e n h u m a   c o m p a r t i l h a   a n i v e r s á r i o = 365 365 × 364 365 × … × 343 365 × 342 365

Com isso, nós temos que

P N e n h u m a   c o m p a r t i l h a   a n i v e r s á r i o = 132132 133225

O que nos fornece aproximadamente,

P N e n h u m a   c o m p a r t i l h a   a n i v e r s á r i o ≈ 0,4617  

O que em porcentagem, é igual a

P N e n h u m a   c o m p a r t i l h a   a n i v e r s á r i o = 46,17   %

Passo 2

B – Usando a regra do complementar, nós temos que

P A ' = 1 - P A

Usando o resultado da letra a), nós temos que

P A ' = 1 - 0,4617 = 0,53 8 3

Com isso,

P A ' = 53 , 83   %

Passo 3

C - Você pode gerar 24 números aleatórios entre 1 e 365 com uma TI83/84- calculadora usando o seguinte comando: randInt(1.365,24) onde você pode encontrar o comando randInt no menu MATH na guia PRB. Gere 10 desses conjuntos de 24 números aleatórios.

Determine o número de vezes que você obteve pelo menos duas pessoas com o mesmo aniversário nestes 10 conjuntos

Resposta

a )   P N e n h u m a   c o m p a r t i l h a   a n i v e r s á r i o = 46,17   %

b )   P A ' = 53,83   %    

c) As respostas podem variar, já que é geração de números aleatórios

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