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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 45d

Prove que a média e a variância de uma v.a. X com distribuição gama (densidade em (7.32)) são, respectivamente, αβ e αβ2.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para calcularmos a média e a variância em cima do nosso gama. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser definir a distribuição.

α = 1 →   ∫ 0 ∞ e - x d x = 1 = 0 !

Γ n + 1 = ∫ 0 ∞ e - x x n d x

Γ n + 1 = n × Γ n = n × ( n - 1 )

Γ n + 1 = n !

Γ 1 = 1

Γ 1 2 = π  

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos a média e a variância!!

E X = ∫ - ∞ ∞ 1 Γ α β α x α - 1 e - x / β d x  

E X = α β ∫ - ∞ ∞ 1 Γ α β α x α - 1 e - x β d x

∫ - ∞ ∞ 1 Γ α β α x α - 1 e - x β d x = 1 ,   X   ~   G a m a α + 1 ; β

E X = α β

E X ² = ∫ - ∞ ∞ x ² 1 Γ α β α x α - 1 e - x / β d x  

E X ² = α ² β ² + α β ²

V a r X = α β ²

Resposta

E X = α β

E X ² = α ² β ² + α β ²

V a r X = α β ²

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