Enunciado
Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 6º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 21
Se , sabendo-se que E(X) = 12 e σ²= 3, determinar:
- , onde
- , onde
- , onde
Passo 1
A média e a variância de uma v.a. binomial, com parâmetros são dadas, respectivamente, por
Já a fórmula geral da f.p. da distribuição binomial é dada por:
Onde,
= número de sucessos, em tentativas
= número de fracassos, em tentativas
= probabilidade de sucesso em uma tentativa
= probabilidade de fracasso nessa tentativa (lembrete: )
= número de resultados experimentais que fornecem exatamente k sucessos em ensaios (em Matemática, chamamos de combinação simples ou número binomial).
Passo 2
(a) Sabendo-se que E(X) = 12 e Var(X) = 3, temos
Substituindo o da fórmula (1) em (2), temos
Logo, basta substituirmos em uma das duas fórmulas, para otimizarmos nosso tempo, vamos substituir na fórmula (1)
Passo 3
(b) Já achamos o valor de p 😊
Passo 4
(c) Pela fórmula da distribuição binomial: , para temos
Passo 5
(d) Pela fórmula da distribuição binomial: , para temos
Passo 6
e) E(Z) e Var(Z), onde
Sabemos que
Sendo
Então podemos falar que:
Assim teremos
Como sabemos que
Agora vamos calcular Var(Z)
Sabemos também que
Portanto
Passo 7
f) , onde
Sabemos pela letra a) que portanto . Assim o que queremos é:
Note que isso é a mesma coisa que
Que é exatamente o que fizemos na alternativa d) e resulta em
Passo 8
g), onde
Novamente, como
Dessa forma queremos
Que é exatamente igual a
Como já calculamos a esperteza aqui é lembrar daquela propriedade de complementar lembram? Podemos falar que:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)