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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 6º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 21

Se X ~ b ( n , p ) , sabendo-se que E(X) = 12 e σ²= 3, determinar:

  1. n
  2. p
  3. P X < 12
  4. P X ≥ 14
  5. E Z   e   V a r ( Z ) , onde Z = ( X - 12 ) / 3
  6. P ( Y ≥ 14 / 16 ) , onde Y = X / n
  7. P ( Y ≥ 12 / 16 ) , onde Y = X / n

Passo 1

A média e a variância de uma v.a. binomial, com parâmetros n   e   p   são dadas, respectivamente, por

E X = n p

V a r X = σ 2 = n p q = n p ( 1 - p )

Já a fórmula geral da f.p. da distribuição binomial é dada por:

P X = k = n k   p k q n - k ,   k = 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   n

Onde,

k = número de sucessos, em n tentativas

n - k = número de fracassos, em n tentativas

p = probabilidade de sucesso em uma tentativa

q = probabilidade de fracasso nessa tentativa (lembrete: q = 1 - p )

n k = número de resultados experimentais que fornecem exatamente k sucessos em n ensaios (em Matemática, chamamos de combinação simples ou número binomial).

Passo 2

(a) Sabendo-se que E(X) = 12 e Var(X) = 3, temos

E X = n p = 12   ( 1 )

V a r X = n p 1 - p = 3   ( 2 )

Substituindo o n p = 12 da fórmula (1) em (2), temos

12 1 - p = 3  

12 - 12 p = 3

12 p = 9

p = 0,75

Logo, basta substituirmos em uma das duas fórmulas, para otimizarmos nosso tempo, vamos substituir na fórmula (1)

n p = 12

n × 0,75 = 12

n = 16

Passo 3

(b) Já achamos o valor de p 😊

p = 0,75

Passo 4

(c) Pela fórmula da distribuição binomial: P X = k = n k   p k q n - k , para n = 16 ,   k = 1 ,   2 , … , 11 ,   p = 0,75   e   q = 0,25   temos

P X < 12 = ∑ k = 1 11 16 k × 0,75 k × 0,25 16 - k = 0,3698

Passo 5

(d) Pela fórmula da distribuição binomial: P X = k = n k   p k q n - k , para n = 16 ,   k = 14 ,   15 ,   16 , p = 0,75   e   q = 0,25   temos

P X < 12 = ∑ k = 14 16 16 k × 0,75 k × 0,25 16 - k = 0,1971

Passo 6

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

Sabemos que

E a X + b = a E X + b

Sendo

Z = X - 12 3 = 1 3 X - 12 3

Então podemos falar que:

a = 1 √ 3   e   b = 12 3

Assim teremos

E Z = 1 3 E X - 12 3

Como sabemos que E X = 12

E Z = 12 3 - 12 3 = 0

Agora vamos calcular Var(Z)

Sabemos também que

V a r a X + b = a 2 V a r ( X )

Portanto

V a r Z = 1 3 2 V a r X = 1 3 . 3 = 1

Passo 7

f) P ( Y ≥ 14 16 ) , onde Y = X / n

Sabemos pela letra a) que n = 16 portanto Y = X 16 . Assim o que queremos é:

P ( X 16 ≥ 14 16 )

Note que isso é a mesma coisa que

P ( X ≥ 14 )

Que é exatamente o que fizemos na alternativa d) e resulta em

P X ≥ 14 = 0,1971

Passo 8

g)   P ( Y ≥ 12 16 ) , onde Y = X / n

Novamente, como n = 16 → Y = X 16

Dessa forma queremos

P ( X 16 ≥ 12 16 )

Que é exatamente igual a

P ( X ≥ 12 )

Como já calculamos P X < 12 a esperteza aqui é lembrar daquela propriedade de complementar lembram? Podemos falar que:

P X ≥ 12 = 1 - P ( X < 12 )

P X ≥ 12 = 1 - 0,3698 = 0,6302

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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