Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 10c
De quantas maneiras 8 pessoas podem se sentar em fila se:
(c) houver 4 homens e 4 mulheres e não for permitido que dois homens ou duas mulheres se sentem em posições adjacentes?
Passo 1
Opa galeeeeera! Hoje vamos entender mais um pouco sobre o Principio Fundamental da Contagem (PFC).
Aqui temos 4 garotos e 4 garotas e há a restrição de que pessoas do mesmo sexo não podem estar juntas. Então vamos raciocinar um pouco.
Lembre-se que se não podemos colocar pessoas do mesmo sexo juntas, ao escolher um menino para estar em uma posição, necessariamente ao lado dele só estarão meninas.
Vamos imaginar essas 8 posições que essas 8 pessoas vão sentar:
E vamos colocando uma a uma respeitando as condições de que não podemos colocar um menino e uma menina um ao lado do outro.
Passo 2
Para a primeira pessoa dessa fila podemos escolher qualquer uma das 8 pessoas, então há 8 possibilidades (4 meninos + 4 meninas).
Essa pessoa escolhida pode ser de qualquer sexo. Caso ela seja menino a pessoa ao lado tem que ser menina, e existem necessariamente 4 meninas restando já que o primeiro escolhido foi um menino.
E analogamente, caso essa primeira pessoa seja menina restarão 4 meninos para serem escolhidos para ser colocado ao lado dela. Assim há necessariamente 4 formas de se escolher esta segunda pessoa.
Passo 3
Agora para a 3ª pessoa, basta lembrarmos que das oito pessoas, necessariamente um menino e uma menina já foram escolhidos, então sobraram seis pessoas que ainda não estão na fila. Sendo 3 meninos e 3 meninas.
Lembrando que nenhuma pessoa pode ser do mesmo sexo que a pessoa ao seu lado vamos ter 3 possibilidades para este 3º lugar, independentemente do segundo ser menino ou menina.
Seguindo o raciocínio análogo do passo anterior, tinham 3 meninos e 3 meninas restando antes de escolher esta 3ª pessoa, e independente de quem eu escolher, o próximo será do sexo oposto onde só há 3 possibilidades.
Então para a 4ª posição há 3 possibilidades.
Passo 4
Agora já foram escolhidos dois meninos e duas meninas, restando somente 2 meninos e 2 meninas.
Para a 5ª posição podemos escolher somente a pessoa de sexo oposto à da posição, restando 2 possibilidades para esta posição.
E novamente só temos 2 outras pessoas do sexo oposto a pessoa da 5ª posição.
Passo 5
Agora já foram escolhidos três meninos e três meninas, restando somente 1 menino e 1 menina.
Para as duas ultimas posições teremos que colocar a pessoa de sexo oposto a anterior restando uma possibilidade para cada.
Passo 6
Como tivemos que escolher a primeira pessoa e a segunda pessoa ... e a sétima pessoa e a oitava pessoa, pelo PFC precisamos multiplicar todas as possibilidades de cada posição para obter o número total de possibilidades:
Resposta
4 garotos e 4 garotas podem sentar-se alternadamente de 1152 maneiras diferentes em uma fila.