Enunciado

Há quatro bolas numa urna, numeradas 000 ,   011 ,   101 ,   110 . Selecione uma bola ao acaso da urna. Considere os eventos

A i : Na bola selecionada, o número 1 aparece na posição i ,   i   =   1 ,   2 ,   3 .

Seja A = A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 .

b) Mostre que A 1 ,   A 2 e A 3 são mutuamente independentes, mas não são independentes.

Passo 1

Falaaa, queridx..

Vamos mostrar que A 1 ,   A 2 e A 3 são mutuamente independentes, mas não são independentes.

Passo 2

Sejam os conjuntos:

A =   ; A 1 ∩ A 2 = 110 ; A 1 ∩ A 3 = 101 ; A 2 ∩ A 3 = 011 .

Devemos mostrar que

P A i ∩ A j = P A i × P A j ,  

Mas que

P A i ∩ A j ∩ A k ≠ P A i × P A j × P A k

Assim,

P A 1 ∩ A 2 = 1 4 = 1 2 × 1 2 = P A 1 × P A 2 ;

P A 1 ∩ A 3 = 1 4 = 1 2 × 1 2 = P A 1 × P A 3 ;

P A 2 ∩ A 3 = 1 4 = 1 2 × 1 2 = P A 2 × P A 3 ;

Mas,

P A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 = 0 ≠ 1 2 × 1 2 × 1 2 = P A 1 × P A 2 × P A 3 ;

Resposta

Dessa forma, os eventos são dois a dois independentes, mas não totalmente independentes.

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