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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 2.Exercícios Suplementares - Ex. 94

Refira-se ao Exercício 93. Se em cada etapa a pessoa que “tem” o boato no momento não souber quem já ouviu e selecionar o próximo receptor aleatoriamente dentre as cinco possibilidades, qual é a probabilidade de F ainda não ter ouvido o boato depois ter sido contado 10 vezes na festa?

Passo 1

P d i f e r e n t e = 0.20

A regra do complementar diz que

P n ã o   A = 1 - P A

Regra da multiplicação para eventos independentes

P A   e   B = P A ∙ P B

E a regra da adição para eventos disjuntos ou mutualmente exclusivos:

P A   o u   B = P A + P B

Regra geral de multiplicação:

P A   e   B = P A ∙ P B A = P B ∙ P A B

Definição Probabilidade condicional:

P B A = P ( A   e   B ) P ( A )

  1. Usando a regra do complemento:

    2. P m e s m o = 1 - P d i f e r e n t e = 1 - 0.20 = 0.8

    Os relés são independentes e há três relés. Podemos então usar a regra de multiplicação para eventos independentes:

    P 3 X   o   m e s m o = P m e s m o ∙ P m e s m o ∙ P m e s m o

    = 0.80 ∙ 0.80 ∙ 0.80 = 0.512 = 51.2 %

  2. Um 1 é enviado. Um 1 também é recebido, se o mesmo dígito for enviado três vezes ou se duas vezes um dígito diferente foi enviado e uma vez o mesmo dígito.

    3. Podemos então usar a regra de multiplicação para eventos independentes:

    P u m a   v e z   i g u a l   e   d u a s   v e z e s   d i f e r e n t e = P i g u a l × P d i f e r e n t e × P d i f e r e n t e

    = 0.80 ∙   0.20 ∙ 0.20 = 0.032

    Existem três relés possíveis que podem enviar o mesmo dígito (relé 1, relé 2 e relé 3), portanto, existem três maneiras possíveis de obter "uma vez igual e duas vezes diferente". Adicione as probabilidades correspondentes:

    P 1   r e c e b i d o 1   e n v i o

    = P ( t r ê s   v e z e s   i g u a l ) + 3 P ( u m a   v e z   i g u a l   e   d u a s   v e z e s   d i f e r e n t e )

    = 0,512 + 3 ( 0,032 ) =   0,6080 = 60,80 \ %

    = 0,512 + 3 ( 0,032 ) = 0,6080 = 60,80 %

    Passo 2

  3. P 1   e n v i o = 70 % = 0.70

P 0   e n v i o = 1 - P 1   e n v i o = 1 - 0.70 = 0.30

P 1   r e c e b i d o 0   e n v i a d o = 1 - P 0   r e c e b i d o 0   e n v i a d o

= 1 - P 1   r e c e b i d o 1   e n v i a d o

= 1 - 0.6080 = 0.3920

Use a regra geral de multiplicação:

P 1   r e c e b i d o   e   1   e n v i a d o = P 1   e n v i a d o P 1   r e c e b i d o 1   e n v i a d o

= 0.70 × 0.6080 = 0.4256

P 1   r e c e b i d o   e   0   e n v i a d o = P 0   e n v i a d o P 1   r e c e b i d o 0   e n v i a d o

= 0.30 × 0.3920 = 0.1176

P 1   r e c e b i d o = P 1   r e c e b i d o   e   1   e n v i a d o + P 1   r e c e b i d o   e   0   e n v i a d o

= 0,4256 + 0,1176 = 0,5432

P 1   e n v i a d o 1   r e c e b i d o = P 1   r e c e b i d o P 1   r e c e b i d o   e   1   e n v i a d o = 0.4256 0.5432 ≈ 0.7535 = 75.35 %

Resposta

(a) 0.512=51.2%

(b) 0.6080=60.80%

(c) 0.7835=78.35%

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