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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 89

Um réu julgado por três juízes é declarado culpado se pelo menos 2 dos juízes o condenarem. Suponha que, se o réu for de fato culpado, cada juiz terá probabilidade de 0,7 de condená-lo, de forma independente. Por outro lado, se o réu for de fato inocente, essa probabilidade cai para 0,2. Se 70% dos réus são culpados, calcule a probabilidade condicional de o juiz número 3 condenar um réu dado

que:

(a) os juízes 1 e 2 o tenham condenado;

(b) um dos juízes 1 e 2 o tenha considerado culpado e o outro o tenha considerado inocente;

(c) os juízes 1 e 2 o tenham considerado inocente. Suponha que E i , i = 1, 2, 3 represente o evento em que o juiz i considera o réu culpado. Esses eventos são independentes ou condicionalmente independentes? Explique.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Os eventos são os seguintes:

G - O   s u s p e i t o   é   c u l p a d o  

E i - j u r a d o s   i = 1,2 , 3   v o t a m   c u l p a d o  

As probabilidades nesse caso são dadas por:

P G = 0,7 → P G C = 0,3

P E i G = 0,7 ,     p a r a   i ∈ { 1,2 , 3 }

P E i G C = 0,2 ,     p a r a   i ∈ { 1,2 , 3 }

Passo 2

A – Começando com a definição

P E 3 E 1 E 2 = P E 1 E 2 E 3 P E 1 E 2

Ambas as probabilidades do lado direito podem ser calculadas usando a fórmula de Bayes com eventos G e G C .

P E 1 E 2 E 3 = P E 1 E 2 E 3 G P G + P E 1 E 2 E 3 G C P ( G C )

P E 1 E 2 = P E 1 E 2 G P G + P E 1 E 2 G C P ( G C )

Quando a independência condicional é aplicada a isso, obtemos

P E 1 E 2 E 3 = P E 1 G P E 2 G P E 3 G P G + P E 1 G C P E 2 G C P E 3 G C P G C

P E 1 E 2 = P E 1 G P E 2 G P G + P E 1 G C P E 2 G C P E 3 G C P ( G C )

Substituindo as probabilidades conhecidas, nós obtemos

P E 1 E 2 E 3 = 0,7 3 ∙ 0,7 + 0,2 3 ∙ 0,3 = 0,2425

P E 1 E 2 = 0,7 2 ∙ 0,7 + 0,2 2 ∙ 0,3 = 0,355

Com isso, nós temos que

P E 3 E 1 E 2 = 97 142 ≈ 68,31 %  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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