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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 29

Seja X uma v.a. com distribuição binomial, c o m   n = 15 . Considere:

H 0 : p ≥ 0,5     c o n t r a     H 1 : p < 0,5 com R C = 0,1 , 2 .

(a) Calcule a probabilidade d o   e r r o   t i p o   I .

(b) Calcule a probabilidade do   e r r o   d e   t i p o   I I   q u a n d o   p   =   0,3 .

(c) Esboce o gráfico do poder do teste

Passo 1

  1. α = P E r r o   t i p o   I = P X ≤ 2 X ~ b i n o m i a l 15 ; 0,5

    2. Lembrando que na distribuição binomial:

    P X = k = n k .   p k   .   1 - p n - k   ,   o n d e   k = s u c e s s o s   e m   n   t e n t a t i v a s .

    Assim: P X ≤ 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

    P X ≤ 2 = 15 0 0,5 0 0,5 15 + 15 1 0,5 1 0,5 14 + 15 2 0,5 2 0,5 13

    P X ≤ 2 = 0,0037

    Passo 2

  2. β = P E r r o   t i p o   I I = P X > 2   X ~ b i n o m i a l 15 ; 0,3

    3. P X > 2 = 1 - P X ≤ 2 = 1 - P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

    1 - 15 0 0,3 0 0,7 15 + 15 1 0,3 1 0,7 14 + 15 2 0,3 2 0,7 13

    P X > 2 = 1 - 0,1268 = 0,873

    Passo 3

  3. Lembrando que a função poder do teste é dada por:

π p = P r e j e i t a r   H 0 p = P X ∈ R C   p )

  1. P X ≤ 2   0,3 = 15 0 0,3 0 0,7 15 + 15 1 0,3 1 0,7 14 + 15 2 0,3 2 0,7 13

    2. P X ≤ 2   p = 0,3 = 0,1268

  2. P X ≤ 2   0 , 4 = 0,027
  3. P X ≤ 2   0 , 5 = 0,0037
  4. P X ≤ 2   0 , 7 = 0,00159
  5. P X ≤ 2   0,9 = 0,0000

Resposta

  1. α = 0,0037
  2. β = 0,873

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