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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 131

Quando um serviço de ônibus reduz tarifas, uma viagem particular de Nova York para Albany, Nova York, é muito popular. Um pequeno ônibus pode transportar quatro passageiros. O tempo entre chamadas para bilhetes é exponencialmente distribuído, com uma média de 30 minutos. Considere que cada chamada compre um bilhete. Qual é a probabilidade do ônibus lotar em menos de 3 horas a partir do momento da redução da tarifa?

Passo 1

Vamos denotar com Y a variável aleatória de Poisson com o parâmetro τ chamadas para bilhete por minuto, com a quantidade de T minutos restantes escolhida a nossa vontade. Portanto, a função de distribuição de probabilidade de Y é dado como:

f Y ( y ) = ( τ T ) y e - τ T y ! ,   y ∈ ℵ 0

Agora, nós introduzimos a variável aleatória de Erlang X, com os parâmetros r=4 (o ônibus lota quando ocorrem 4 chamadas) e τ chamadas por minuto como antes.

Recebemos informações sobre a variável aleatória exponencial correspondente (que mede o tempo aleatório entre chamadas individuais) - a média desta variável exponencial é de 30 minutos. Esta média e o parâmetro τ são relacionados através de:

τ = 1 30 c h a m a d a s   p o r   m i n u t o

Passo 2

Temos que calcular a probabilidade:

P ( X < 3   h o r a s ) = P ( X < 180   m i n u t o s )

Vamos fazer com que T=180 minutos, o que leva a τ T = 6 chamadas, e observe que a probabilidade acima agora é igual a (lembre-se das interpretações de Erlang e da distribuição de Poisson):

P ( Y ≥ 4 ) = 1 - f Y ( 0 ) - f Y ( 1 ) - f Y ( 2 ) - f Y ( 3 ) = 0.8487961

Resposta

0.8487961

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