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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 39

Um show de golfinhos está marcado para começar às 9h, 9h30min e 10h. Quando o show começa, o portão é fechado. Um visitante chegará ao portão no tempo uniformemente distribuído entre 8h30min e 10h. Determine:

  1. A função de distribuição cumulativa do tempo (em minutos) entre a chegada e 8h30min.
  2. A média e a variância da distribuição do item anterior.
  3. A probabilidade de o visitante esperar menos de 10 minutos para o início do show.
  4. A probabilidade de o visitante esperar mais de 20 minutos para o início do show.

Passo 1

Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme contínua sobre no intervalo [ 0 ; 90 ] . Usando a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua:

f ( x ) = 1 90 ,   0 < x < 90

Passo 2

Na letra a:

A função de distribuição cumulativa é:

F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ - ∞ x f ( u ) d u para - ∞ < x < ∞

Então,

F ( x ) = 0 ,   x ≤ 0

F ( x ) = x - 0 90 - 0 = x 90 ,   0 < x < 90

F ( x ) = 1 ,   x ≥ 90

Passo 3

Na letra b:

Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com uma função densidade de probabilidade f ( x ) . A média, ou o valor esperado de X , denotados por μ ou E ( X ) , são:

μ = E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

A variância de X , denotada por V ( X ) ou σ 2 é:

σ 2 = V ( X ) = ∫ - ∞ ∞ ( x - μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x - μ 2

Sabendo disso, vamos calcular o que se pede:

E ( X ) = 0 + 90 2 = 45

V a r ( X ) = ( 90 - 0 ) 2 12 = 675

Passo 4

Na letra c:

O visitante espera menos de 10 minutos pelo show em 3 cenários distintos:

  • Ele vem entre 8h50 e 9h - 20 < X < 30
  • Ele vem entre 9h20 e 9h30 - 50 < X < 60
  • Ele vem entre 9h50 e 10h - 80 < X < 90

    • Vamos calcular:

    P ( 20 < X < 30 ) + P ( 50 < X < 60 ) + P ( 80 < X < 90 ) = 1 90 ( 10 + 10 + 10 ) = 1 3

    Passo 5

    Na letra d:

    O visitante espera menos de 20 minutos pelo show em 3 cenários distintos:

  • Ele vem entre 8h30 e 8h40 - 0 < X < 10
  • Ele vem entre 9h e 9h10 - 30 < X < 40
  • Ele vem entre 9h30 e 9h40 - 60 < X < 70

Vamos calcular:

P ( 0 < X < 10 ) + P ( 30 < X < 40 ) + P ( 60 < X < 70 ) = 1 90 ( 10 + 10 + 10 ) = 1 3

Resposta

  1. F ( x ) = 0 ,   x ≤ 0

    2. F ( x ) = x 90 ,   0 < x < 90

    F ( x ) = 1 ,   x ≥ 90

  2. Média= 45, Variância =675
  3. ⅓
  4. 1/3
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Suponha que a variável aleatória discreta X tome os valores 1, 2 e 3 com igual probabilidade. Ache a distribuição de probabilidade de Y = 2X + 3.
Suponha que a Variável aleatória contínua X tenha fdp f x = e - x , x0. Ache a fdp das seguintes variáveis aleatórias: Y=X³ e Z = 3 X + 1 2
Suponha que X seja uniformemente distribuída sobre o intervalo (-1,1). Ache a fdp das seguintes variáveis aleatórias: Y = sin ⁡ π 2 X , Z = cos ⁡ π 2 X e W = | X |
Suponha que X seja uniformemente distribuída sobre (-1,1). Seja Y = 4 – X². Achar a fdp de Y, g(y) , e fazer seu gráfico. Verifique também que g(y) é a fdp adequada.
Suponha que X seja uniformemente distribuída sobre (1,3). Ache a fdp das seguintes variáveis aleatórias: Y=3X+4 e Z = e X