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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 32

Suponha que X tenha uma distribuição contínua uniforme no intervalo [ 1.5 ;   5.5 ] .

  1. Determine a média, a variância e o desvio-padrão de X .
  2. Qual é P ( X < 2.5 ) ?
  3. Determine a função de distribuição cumulativa.

Passo 1

Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme contínua sobre no intervalo [ 1.5 ;   5.5 ] . Usando a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua:

f ( x ) = 1 5.5 - 1.5 = 1 4 ,   1.5 < x < 5.5

Passo 2

Na letra a:

Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com uma função densidade de probabilidade f ( x ) . A média, ou o valor esperado de X , denotados por μ ou E ( X ) , são:

μ = E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

A variância de X , denotada por V ( X ) ou σ 2 é:

σ 2 = V ( X ) = ∫ - ∞ ∞ ( x - μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x - μ 2

O desvio padrão de X é:

σ = V ( X )

Sabendo disso, vamos calcular o que se pede:

E ( X ) = 1,5 + 5.5 2 = 3.5

V a r ( X ) = ( 5.5 - 1.5 ) 2 12 = 4 3

S t d ( X ) = 4 3 = 2 3 3

Passo 3

Na letra b:

P ( X < 2.5 ) = ∫ 1.5 2.5 1 4 d x = 1 4 × 1 = 1 4

Passo 4

Na letra c:

A função de distribuição cumulativa é:

F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ - ∞ x f ( u ) d u para - ∞ < x < ∞

Então,

F ( x ) = 0 ,   x ≤ 1.5

F ( x ) = x - 1.5 4 = x 4 - 0.375,1.5 <   x < 5.5

F ( x ) = 1 ,   x ≥ 5.5

Resposta

  1. Média = 3.5, Variância = 4/3, Desvio Padrão = 2 3 / 3
  2. 0.25
  3. F ( x ) = 0 ,   x ≤ 1.5

F ( x ) = x - 1.5 4 = x 4 - 0.375,1.5 <   x < 5.5

F ( x ) = 1 ,   x ≥ 5.5

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