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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 45

Suponha que é correlação entre X e Y seja P. Para as constantes a, b, c e d qual é a correlação entre as variáveis aleatórias

Passo 1

Primeiro, temos que encontrar E ( U V ) :

E ( U V ) = E [ ( a X + b ) ( c Y + d ) ] = E ( a c X Y + a d X + b c Y + b d ) = a c E ( X Y ) + a d E ( X ) + b c E ( Y ) + b d

Agora, vamos encontrar E ( U ) e E ( V ) :

E ( U ) = E ( a X + b ) = a E ( X ) + b E ( V ) = E ( c Y + d ) = c E ( Y ) + d

Portanto, a covariância entre U e V é:

C o v ⁡ ( U , V ) = E ( U V ) - E ( U ) E ( V ) = a c ⁡ E ( X Y ) + a d ⁡ E ( X ) + b c E ( Y ) + b d - ( a E ( X ) + b ) ( c E ( Y ) + d ) = a c E ⁡ ( X Y ) - a c E ⁡ ( X ) E ( Y ) = a c C o v ⁡ ( X , Y )

Passo 2

Para deter a correlação entre U e V, primeiro temos que encontrar V a r ( U ) :

V a r ⁡ ( U ) = E U 2 - [ E ( U ) ] 2 = E a 2 X 2 + 2 a b X + b 2 - ( a E ( X ) + b ) 2 = a 2 E X 2 + 2 a b E ( X ) + b 2 - a 2 [ E ( X ) ] 2 - 2 a b E ( X ) - b 2 = a 2 V a r ⁡ ( X )

Da mesma forma, obtemos:

V a r ⁡ ( V ) = c 2 V a r ⁡ ( Y )

Portanto, a correlação entre U e V é:

ρ U V = c o v ⁡ ( U , V ) V a r ⁡ ( U ) V a r ⁡ ( V )

= a c c o v ⁡ ( X , Y ) a 2 V a r ⁡ ( X ) c 2 V a r ⁡ ( Y ) = ρ X Y = ρ

Resposta

ρ U V = ρ X Y = ρ

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