Exercícios de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas - Lista de Exercícios Resolvida

Seja um vetor bivariado de v.a.’s contínuas com a seguinte função:

Calcule o valor da constante para que seja uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias e .

Suponha e dois valores de probabilidade conhecidos. Assumindo duas v.a.’s discretas com distribuição conjunta para , e . Mostre como encontrar:

1. O valor de , em função de e , para que seja uma distribuição conjunta. E escreva a função conjunta.
2. A marginal de e de e indique qual o nome (modelo) destas distribuições.
3. Podemos afirmar que e são independentes? Justifique sua resposta.

Sejam e v.a.’s contínuas com densidade conjunta:

1. Encontre a constante que faz desta expressão uma densidade.
2. Encontre a densidade marginal de e de

1. Determine a constante para que seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias e .
2. Encontre a densidade marginal de e de .
3. Encontre a densidade condicional de dado .
4. e são independentes? Por quê? Justifique.

Sejam e v.a. contínuas com densidade conjunta:

Dados:

Marginal de :

Marginal de :

Pede-se:

1. Densidade condicional de dado .
2. Média condicional de dado , e calcule o valor quando .

Sejam variáveis aleatórias contínuas com função densidade de probabilidade conjunta dada por

e caso contrário. A probabilidade vale:

Duas variáveis aleatórias contínuas têm densidade de probabilidade conjunta dada por:

caso contrário.

A densidade condicional de dado , para é?

Considere a seguinte densidade conjunta

1. Ache a densidade marginal de .
2. Ache a densidade marginal de .
3. Calcule .

Se a função de probabilidade da variável aleatória contínua é dada por:

1. Determine a constante para que seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias e , mostre a função ?
2. Encontre a densidade marginal de e a densidade marginal de .
3. Encontre a densidade condicional de dado .

1. Determine a constante para que seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias e .
2. Encontre a densidade marginal de e de .
3. Encontre a densidade condicional de dado .
4. e são independentes? Por quê? Justifique.

Sejam e v.a.’s contínuas com densidade conjunta:

1. Encontre a constante que faz desta expressão uma densidade.
2. Encontre a densidade marginal de e de
3. Encontre a densidade condicional de dado .

Duas variáveis aleatórias independentes possuem as respectivas funções densidades de probabilidades marginais:

0, caso contrário;

0, caso contrário.

O valor deé:

Sejam e v.a.’s discretas com densidade conjunta:

Pede-se:

1. Determine a constante para que seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias e , mostre a função ?
2. Encontre a densidade marginal de e .
3. e são independentes? Por que? Justifique.

Duas variáveis aleatórias têm densidade conjunta igual a para e igual a fora dessa região. O valor de é:

Admite-se que cada pneu dianteiro de um determinado tipo de veículo deve ter a pressão de 26 psi. Suponha que a pressão real em cada pneu seja uma variável aleatória para o pneu direito e para o pneu esquerdo, com a seguinte função de densidade conjunta:

Pede-se:

a) Qual é a probabilidade de os dois pneus estarem com pressão inferior ao ideal?

b) Determine a média condicional dado .

a) Suponha que e sejam variáveis aleatórias contínuas, prove que .

Observação: podemos dizer que é uma variável aleatória, que é uma função de .

b) Seja , , ..., uma sequência de variáveis aleatórias independentes com distribuição . Se , qual a distribuição de e de ?

Seja “” e “” duas Variáveis aleatórias discretas cuja função de probabilidade conjunta é expressa por:

a) Determine a constante “” para que seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias e .

b) Encontre a densidade condicional de dado .

Seja variável aleatória contínua com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta:

Pede-se:

1. Calcular o Coeficiente de Correlação .
2. Calcular a variância condicional de dado .

Seja um vetor bivariado de v.a.’s contínuas com a seguinte função:

Calcule o valor da constante para que seja uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias e .

Sejam e e v.a.’s contínuas com densidade conjunta expressa por:

Pede-se:

1. Densidade marginal de e .
2. e são independentes? Por que? Justifique.

Suponha e dois valores de probabilidade conhecidos. Assumindo duas v.a.’s discretas com função de probabilidade conjunta , para , e .

Pede-se:

1. Calcular o valor da constante “ e apresentar a função de probabilidade conjunta em termos de e .
2. A função de probabilidade condicional de dado .

1. Determine a constante para que seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias e .
2. Encontre a densidade marginal de e de .
3. e são independentes? Por quê? Justifique.

Seja um vetor bivariado de v.a.’s contínuas com a seguinte função:

a) Calcule o valor da constante para que seja uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias e . Apresente a função conjunta.

b) Ache a média e a variância condicional de dado que .

c) e são independentes? Por quê? Justifique.

Suponha e dois valores de probabilidade conhecida. Assumindo duas v.a.’s discretas com distribuição conjunta , para e , mostre como encontrar:

a) O valor de em função de e , para que seja uma distribuição conjunta. Apresente a função conjunta somente em função de e .

b) A densidade condicional de dado

c) Podemos afirmar que e são independentes? Justifique sua resposta.

A função de densidade de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias para uma constante é dada por:

A densidade marginal de para

Obtenha , se a função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias é:

A função de densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias é dada por:

A densidade condicional de dado para é:

02) Dois números, e , são gerados aleatoriamente e uniformemente distribuídos no intervalo . Assuma que são gerados de maneira independente e calcule a probabilidade da equação possuir raízes reais.

a)

b)

c) .

d)

e)

Considere variáveis aleatórias com densidade conjunta constante na região e igual a zero no complemento dessa região. A densidade marginal de para é:

Dada a seguinte distribuição de probabilidades, calcular média da variável :

Considere a função de densidade conjunta para e caso contrário. Qual é a probabilidade de pertencer à região descrita por ? (Note: senecessário utilize as aproximações ; ; )

O valor da variável é um número no intervalo escolhido segundo uma densidade uniforme. De maneira similar, o valor da variável é um número no intervalo , escolhido segundo uma densidade uniforme. As variáveis são independentes. Um aluno toma os valores de obtidos em um experimento e desenha um triângulo retângulo, onde são os catetos. Qual a probabilidade que a hipotenusa desse triângulo seja menor que ?