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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 24

Suponha que X este seja um número de sucessos observados em uma amostra de n observações, em que p é a probabilidade de sucesso em casa observação.

  1. mostre que p-Xin é um estimador não tendencioso de p
  2. Mostre que o erro padrão de P é p ( 1 - p ) / n . Como vice estaria o erro padrão?

Passo 1

Temos as seguintes informações fornecidas:

X é o número de "sucessos" observados em uma amostra de n observações onde p é a probabilidade de sucesso em cada observação.

Letra a:

Vamos supor que o evento E i indique i - é s i m o evento como sucesso (= 1) ou falha (= 0).

A média de um E i aleatório é:

μ = 1 × p + 0 × ( 1 - p ) = p

Porque cada E i é 1 para sucesso e 0 para falha, o número total de sucesso X é a soma de todos os eventos de E i .

E ( X ) = μ 1 + μ 2 + μ 3 + . . . + μ n = n p

Então,

P = X n

E ( P ) = 1 n E ( X ) = p

Então, P = X n é um estimador imparcial de p.

Passo 2

Letra b:

A variância de cada evento E i é:

V ( E i ) = E ( E i 2 ) - [ E ( E i ) ] 2

Vamos considerar:

E ( E i 2 ) = 1 2 × p + 0 2 × ( 1 - p ) = p

V ( E i ) = p - p 2 = p × ( 1 - p )

A variância de X é:

V ( X ) = V ( E 1 ) + V ( E 2 ) + . . . + V ( E n ) = n p ( 1 - p )

Então,

P = X   n

V ( P ) = V X n = p ( 1 - p ) n

Então, o erro padrão para p é V ( P ) = p ( 1 - p ) n

Resposta

  1. P = X n , é um estimador imparcial de p
  2. O erro padrão para p é V ( P ) = p ( 1 - p ) n
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