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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 36

Suponha que o tempo que um operador de coleta de dados leva para preencher um formulário eletrônico para uma base de dados esteja uniformemente entre 1.5 e 2.2 minutos.

  1. Qual é a média e a variância do tempo que o operador leva para preencher o formulário?
  2. Qual é a probabilidade de levar menos de dois minutos para preencher o formulário?
  3. Determine a função de distribuição cumulativa do tempo que leva para preencher o formulário.

Passo 1

Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme contínua sobre no intervalo [ 1.5 ;   2.2 ] . Usando a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua:

f ( x ) = 1 2.2 - 1.5 = 10 7 ,   1.5 < x < 2.2

Passo 2

Na letra a:

Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com uma função densidade de probabilidade f ( x ) . A média, ou o valor esperado de X , denotados por μ ou E ( X ) , são:

μ = E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

A variância de X , denotada por V ( X ) ou σ 2 é:

σ 2 = V ( X ) = ∫ - ∞ ∞ ( x - μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x - μ 2

Sabendo disso, vamos calcular o que se pede:

E ( X ) = 1.5 + 2.2 2 = 1.85

V a r ( X ) = ( 2.2 - 1.5 ) 2 12 = 0.0408

Passo 3

Na letra b:

P ( X < 2 ) = ∫ 1.5 2 10 7 d x = 10 7 × 5 10 = 5 7 = 0.714

Passo 4

Na letra c:

A função de distribuição cumulativa é:

F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ - ∞ x f ( u ) d u para - ∞ < x < ∞

Então,

F ( x ) = 0 ,   x ≤ 1.5

F ( x ) = x - 1.5 2.2 - 1.5 = 10 7 x - 15 7 ,   1.5 <   x < 2.2

F ( x ) = 1 ,   x ≥ 2.2

Resposta

  1. Média= 1.85, Variância =0.0408
  2. 0.714
  3. F ( x ) = 0 ,   x ≤ 1.5

F ( x ) = 10 7 x - 15 7 ,   1.5 <   x < 2.2

F ( x ) = 1 ,   x ≥ 2.2

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