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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 35

A espessura de um flange em um componente de espaçonave é uniformemente distribuída entre 0.95 e 1.05 milímetros.

  1. Determine a função de distribuição cumulativa da espessura do flange.
  2. Determine a proporção de flanges que excedem 1.02 milímetro.
  3. Qual o valor da espessura que é excedida por 90% dos flanges?
  4. Determine a média e a variância da espessura do flange.

Passo 1

Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme contínua sobre no intervalo [ 0.95 ;   1.05 ] . Usando a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua:

f ( x ) = 1 1.05 - 0.95 = 10 ,   0.95 < x < 1.05

Passo 2

Na letra a:

A função de distribuição cumulativa é:

F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ - ∞ x f ( u ) d u para - ∞ < x < ∞

Então,

F ( x ) = 0 ,   x ≤ 0.95

F ( x ) = x - 0.95 1.05 - 0.95 = 10 x - 9.5 ,   0.95 <   x < 1.05

F ( x ) = 1 ,   x ≥ 1.05

Passo 3

Na letra b:

P ( X > 1.02 ) = 1 - F ( 1.02 ) = 1 - 10 × 1.02 + 9.5 = 0.3

Passo 4

Na letra c:

Vamos escrever a equação:

0.9 = P ( X > x ) = 1 - F ( x ) = 1 - 10 x + 9.5

E resolver para achar x :

x = 0.96

Passo 5

Na letra d:

Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com uma função densidade de probabilidade f ( x ) . A média, ou o valor esperado de X , denotados por μ ou E ( X ) , são:

μ = E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

A variância de X , denotada por V ( X ) ou σ 2 é:

σ 2 = V ( X ) = ∫ - ∞ ∞ ( x - μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x - μ 2

Sabendo disso, vamos calcular o que se pede:

E ( X ) = 0.95 + 1.05 2 = 1

V a r ( X ) = ( 1.05 - 0.95 ) 2 12 = 8.3 × 1 0 - 4

Resposta

  1. F ( x ) = 0 ,   x ≤ 0.95

    2. F ( x ) = 10 x - 9.5 ,   0.95 <   x < 1.05

    F ( x ) = 1 ,   x ≥ 1.05

  2. 0.3
  3. 0.96
  4. Média= 1, Variância = 8.3 × 1 0 - 4
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