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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 90

Suponha que n tentativas independentes sejam realizadas, com cada uma delas levando a qualquer um dos resultados 0, 1 ou 2 com respectivas probabilidades p 0 ,   p 1   e p 2 , ∑ i = 0 2 p i = 1 . Determine a probabilidade de que os resultados 1 e 2 ocorram pelo menos uma vez.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, vamos entender quais são os eventos neste caso, que são

E -   1   e   2   a p a r e c e m   p e l o   m e n o s   u m a   v e z   n a   s e q u ê n c i a

A -   c a d a   r e s u l t a d o   e m   u m a   s e q u ê n c i a   é   0   o u   1

B - c a d a   r e s u l t a d o   e m   u m a   s e q u ê n c i a   é   0   o u   2

Nós temos que calcular P ( E ) , vamos começar pela seguinte informação

A ∪ B = E C

Portanto,

P E = 1 - P ( A ∪ B )

Lembra daquela fórmula de teoria de conjuntos relacionada a união? Pois bem, vamos utilizar ela agora

P A ∪ B = P A + P B - P ( A B )

Passo 2

A probabilidade de que um certo experimento termine em 0 ou 1, ou seja, 2, porque esses eventos são mutuamente exclusivos são:

1 - p 2

Por causa da independência, a probabilidade de n experimentos não terminarem em 2 é igual a

P A = 1 - p 2 n

Assim como

P B = 1 - p 1 n

E AB significa que cada resultado é 0, por causa da probabilidade de independência de que é:

P A B = p 0 n

Passo 3

Portanto,

P E = 1 - P A + P B + P C

Substituindo os valores, nós temos que

P E = 1 - 1 - p 2 n + 1 - p 1 n - p 0 n

Tirando os colchetes, nós obtemos o seguinte resultado

P E = 1 - 1 - p 2 n - 1 - p 1 n + p 0 n

Resposta

P E = 1 - 1 - p 2 n - 1 - p 1 n + p 0 n

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