Demonstre que, se E 1 ,   E 2 , … ,   E n   são eventos independentes, então

P E 1 ∪ E 2   ∪ … ∪ E n =     1 -   ∏ i = 1 n [ 1 - P E i ]

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Aplicando a lei da inclusão e exclusão no lado esquerdo da igualdade, temos:

P E 1 ∪ E 2   ∪ … ∪ E n =     ∑ i = 1 n P E i - ∑ i , j = 1 i < j n P E i E j + … + - 1 n - 1 P ( E 1 E 2 … E n )

P E 1 ∪ E 2   ∪ … ∪ E n =     ∑ i = 1 n P E i - ∑ i , j = 1 i < j n P E i ) P ( E j + … + - 1 n - 1 P E 1 P E 2 … P ( E n )

Já no lado direito da igualdade, representando o produtório como somatório, temos:

1 -   ∏ i = 1 n 1 - P E i = 1 - [   1 - ∑ i = 1 n P E i + ∑ i , j = 1 i < j n P E i E j + … + - 1 n - 1 P E 1 E 2 … E n

1 -   ∏ i = 1 n 1 - P E i = ∑ i = 1 n P E i - ∑ i , j = 1 i < j n P E i ) P ( E j + … + - 1 n - 1 P E 1 P E 2 … P ( E n )

Assim, vimos que ambos os lados da igualdade equivalem ao mesmo valor, como queríamos demonstrar.

Resposta

Veja a demonstração.

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