Suponha que W, a umidade do ar em certo dia, seja uma variável aleatória gama com parâmetros . Isto é, sua densidade é . Suponha também que, dado que W = w, o número de acidentes nesse dia - chame-o de N - tem uma distribuição de Poisson com média w. Mostre que a distribuição condicional de W dado N = n é gama com parâmetros .
Passo 1
Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Pelas informações do enunciado, a função de massa de probabilidade de dado que é a seguinte:
Com isso, a densidade condicional de quando dado, é:
Substituindo:
Simplificando as contas, vamos chegar em:
Passo 2
Vamos considerar aqui agora também que: