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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 38

Suponha que W, a umidade do ar em certo dia, seja uma variável aleatória gama com parâmetros ( t , β ) . Isto é, sua densidade é f w = β e - β w β w t - 1 / Γ ( t ) ,   w > 0 . Suponha também que, dado que W = w, o número de acidentes nesse dia - chame-o de N - tem uma distribuição de Poisson com média w. Mostre que a distribuição condicional de W dado N = n é gama com parâmetros ( t + n , β + 1 ) .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Pelas informações do enunciado, a função de massa de probabilidade de N dado que W = w é a seguinte:

f w = β e - β w β w t - 1 Γ t

P N = n W = w = e - w w n n !

Com isso, a densidade condicional de w quando n dado, é:

f W | N w n = P N = n W = w P N = n f ( w )

Substituindo:

f W | N w n = e - w w n n ! P N = n β e - β w β w t - 1 Γ t

Simplificando as contas, vamos chegar em:

f W | N w n = e - w ( β + 1 ) β t w n + t - 1 n ! Γ t P N = n

Passo 2

Vamos considerar aqui agora também que:

P N = n = ∫ 0 ∞ P N = n W = w f w d w

P N = n = ∫ 0 ∞ e - w w n n ! β e - β w β w t - 1 Γ t d w

P N = n = β t n ! Γ t ∫ 0 ∞ e - w ( β + 1 ) w n + t - 1 d w

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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