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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 2

Uma v.a. X tem distribuição triangular no intervalo [0, 1] se sua f.d.p. for dada por

f x = 0 ,     x < 0 C x ,     0 ≤ x ≤ 1 / 2 C 1 - x , 1 2 ≤ x ≤ 1 0 ,     x > 1

(a) Qual valor deve ter a constante C?

(b) Faça o gráfico de f(x).

(c) Determine P ( X   ≤ 1 2 ) ,   P ( X   > 1 2 )   e   P ( 1 4 ≤ X ≤ 3 4 ) .

Passo 1

(a) Qual valor deve ter a constante C?

Bom, de uma coisa nós sempre temos certeza: Se temos uma f.d.p. de uma variável aleatória contínua, sabemos que a integral em todo o seu domínio Ω deve ser igual a um.

Como nesse problema, temos quatro intervalos fragmentados, temos que a soma das integrais das funções de cada intervalo deve dar igual a um. Então

∫ Ω f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ f x d x = ∫ - ∞ 0 0   d x + ∫ 0 1 2 C x   d x + ∫ 1 2 1 C   ( 1 - x )   d x + ∫ 1 ∞ 0   d x = 1

C ∫ 0 1 2 x   d x + C ∫ 1 2 1   1 - x   d x = 1

C   × x 2 2 0 1 2 + x - x 2 2 1 2 1 = 1

C   × 1 2 2 2 - 0 2 2 + 1 - 1 2 2 - 1 2 - 1 2 2 2 = 1

C   × 1 8 + 1 2 - 3 8 = 1

C   × 2 8 = 1

C = 4

Passo 2

(b) Agora vamos montar o gráfico, mas primeiro, vamos substituir o valor de C encontrado na alternativa (a).

f x = 0 ,     x < 0 4 x ,     0 ≤ x ≤ 1 / 2 4 1 - x , 1 2 ≤ x ≤ 1 0 ,     x > 1

Montando a função por partes

Passo 3

(c) Determine P X   ≤ 1 2 ,   P X   > 1 2 e   P 1 4 ≤ X ≤ 3 4

Já sabemos que a probabilidade de uma v.a. contínua é dada pela área do gráfico, beleza? Vamos então fazer olhando para o nosso gráfico...

  • P ( X ≤ 1 2 )

  • P ( X > 1 / 2 )

  • P 1 4 ≤ X ≤ 3 4

Resposta

(a) C = 4

(b)

(c) P X   ≤ 1 2 = 1 2 ,   P X   > 1 2 = 1 2   e   P 1 4 ≤ X ≤ 3 4 = 3 4

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