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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 13

A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade final do produto. Suponha que T seja considerada uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo 150 ,   300 . Suponha que o custo para produzir um galão de petróleo seja C 1 reais. Se o óleo for destilado a uma temperatura inferior a 200 ° , o produto obtido é vendido a C 2 reais; se a temperatura for superior a 200 ° , o produto é vendido a C 3 reais.

a) Fazer o gráfico da função densidade de probabilidade de T .

b) Qual o lucro médio por galão?

Passo 1

Como a temperatura T tem uma distribuição uniforme no intervalo 150 ,   300 , temos que sua f.d.p. é

f T = A ,     150 ≤ T ≤ 300   0 ,       T ≤ 150     e     T ≥ 300

Como

∫ f T   d T = 1 ,

devemos ter

∫ 150 300 A   d T = 1 ⇒ A = 1 300 - 150 = 1 150

Assim,

f T = 1 150 ,     150 ≤ T ≤ 300   0 ,       T ≤ 150     e     T ≥ 300

A seguir fazemos um esboço da f.d.p.:

Passo 2

Para calcular o lucro médio, devemos lembrar que

l u c r o = r e c e i t a   d e   v e n d a s - c u s t o   d e   p r o d u ç ã o ⇒ L = R - C

O custo já é sábido ser C = C 1 . Como calculamos a receita média?

Para T < 200 , temos que R = C 2 , já para T > 200 , temos R = C 3 . Sabemos que o valor esperado da receita é

E R = ∫ R   f T   d x

Assim,

E R = ∫ 150 200 C 2   f T   d T + ∫ 200 300 C 3   f T   d T

Substituindo a distribuição uniforme f ( T ) :

E R = C 2 150 ∫ 150 200 d T + C 3 150 ∫ 200 300 d T

Logo,

E R = C 2 150 ⋅ 50 + C 3 150 ⋅ 100 = C 2 3 + 2 C 3 3

Com isso, o lucro médio será

E L = E R - C 1

Portanto,

E L = C 2 3 + 2 C 3 3 - C 1

Resposta

E L = C 2 3 + 2 C 3 3 - C 1

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Considere a v.a. X do Problema 2 e Y = X + 5. Obtenha a densidade de Y.
Suponha X ~ u[–1, 1]. Calcule a densidade de Y = X² e de W = |X|.
Suponha que a v.a. X tenha densidade f(x) = 1, para 0
Suponha que a v.a. X tenha densidade f(x) = 1, para 0