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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 10

A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma variácel aleatória com função densidade de probabilidade

f x = 2 x 3 ,             s e   0 ≤ x < 1 - x 3 + 1 ,       s e   1 ≤ x ≤ 3 0 ,         s e   x < 0   o u   x > 3

a) Qual a probabilidade de se vender mais do que 150   k g , num dia escolhido ao acaso?

b) Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?

c) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que não falte arroz em 95 % dos dias?

Passo 1

Bom, o enunciado deu a f.d.p. que só não é nula no intervalo 0 ≤ x ≤ 3 . No item (a), queremos saber qual a probabilidade de x > 1,5 . Para isso, basta integrar f ( x ) :

P x > 1,5 = ∫ 1,5 ∞ f x   d x

Essa integral pode ser escrita como

P x > 1,5 = ∫ 1,5 3 - x 3 + 1   d x

Calculando a integral,

P x > 1,5 = - x 2 6 + x 1,5 3

Assim,

P x > 1,5 = - 9 6 + 3 - - 1,5 2 6 + 1,5 = 1,5 + 0,375 - 1,5

Portanto, a probabilidade que a demanda seja maior que 150   k g em um dia é

P x > 1,5 = 0,375

Passo 2

Para calcular a expectativa de venda em 30 dias, vamos calcular o valor esperado da demanda em um mês:

E x = ∫ x   f x   d x

Assim,

E x = ∫ 0 1 x ⋅ 2 x 3   d x + ∫ 1 3 x ⋅ - x 3 + 1   d x

Fazendo os produtos, obtemos

E x = ∫ 0 1 2 x 2 3   d x + ∫ 1 3 - x 2 3 + x   d x

Efetuando as integrais:

E x = 2 x 3 9 0 1 + - x 3 9 + x 2 2 1 3

Assim,

E x = 2 9 - 27 9 + 9 2 - - 1 9 + 1 2 = 1 3 - 3 + 4 = 4 3

Portanto, por dia, a demanda esperada é

400 3   k g

Considerando 30 dias:

30 ⋅ 400 3 = 4000   k g

Com isso, vemos que em um mês o gerente espera vender 4000   k g .

Passo 3

No item (c), queremos saber qual o valor X deve ser a demanda para que a probabilidade acumulada seja 95 % . Para isso, fazemos a integral de 0 até X e igualamos a 95 % :

∫ 0 X f x   d x = 0,95

Assim,

∫ 0 1 2 x 3   d x + ∫ 1 X - x 3 + 1   d x = 0,95

A primeira integral é simples de calcular:

∫ 0 1 2 x 3   d x = x 2 3 0 1 = 1 3

Já a segunda integral:

∫ 1 X - x 3 + 1   d x = - x 2 6 + x 1 X = - X 2 6 + X + 1 6 - 1

Com isso, temos que

1 3 - X 2 6 + X + 1 6 - 1 = 0,95 = 19 20

- X 2 6 + X - 1 2 = 19 20 ⇒ - X 2 6 + X - 29 20 = 0

Multiplicando essa equação por ( - 6 ) :

X 2 - 6 X + 87 10 = 0

Usando a fórmula de Báskara:

Δ = 36 - 4 ⋅ 87 10 = 1,2

Assim,

X = 6 ± 1,2 2

A solução com sinal de + dá um número maior que 3 , que não é válido já que a f.d.p. vai apenas até x = 3 . Com isso,

X = 6 - 1,2 2

Ou ainda,

X ≈ 2,45

Portanto, deve-se deixar 245   k g disponíveis diariamente para que não falte comida em 95 % dos dias.

Resposta

P x > 1,5 = 0,375

4000   k g

245   k g

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