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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 45

O tempo para um indivíduo ser servido em uma cafeteria é uma variável aleatória que tem distribuição exponencial com uma média de quatro minutos. Qual é a probabilidade de que uma pessoa seja servida em menos de três minutos, em pelo menos quatro dos próximos seis dias?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A variável aleatória X representa o período de tempo para um indivíduo ser servido na cafeteria.

A variável X tem distribuição exponencial com média μ = 4 .

E a função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial é:

f x = 1 4 e - x / 4 ,                                           x ≥ 0 0 ,                             c a s o   c o n t r á r i o

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma pessoa ser servida em menos de 3 minutos.

P X < 3 = ∫ 0 3 f ( x ) d x

= ∫ 0 3 1 4 e - x / 4 d x

= - 4 e - x / 4 4 0 3

= - 3 - 3 / 4 + 1

= 1 - 0,4724

P X < 3 = 0,5276

Agora, podemos definir a probabilidade de uma pessoa ser servida em menos de 3 minutos, em pelo menos 4 dos próximos 6 dias.

P X ≥ 4 = ∑ x = 4 6 6 x p x q 6 - x

= P X = 4 + P X = 5 + P X = 6

= 6 4 0,5276 4 1 - 0,5276 6 - 4 + 6 5 ( 0,5276 ) 5 1 - 0,5276 6 - 5 + 6 x ( 0,5276 ) 6 1 - 0,5276 6 - 6

= 0,25938 + 0,11587 + 0,02157

P X ≥ 4 = 0,3968

Resposta

0,3968

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