Exercícios de Distribuição Exponencial - Lista de Exercícios Resolvida

O tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas em seu computador é distribuído exponencialmente, com uma média de duas horas.

1. Qual é a probabilidade de você não receber uma mensagem durante o período de duas horas?
2. Se você não tiver recebido uma mensagem nas primeiras quatro horas, qual será a probabilidade de você não receber uma mensagem nas próximas 2 horas?

Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.

Ocorrem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

1. Forneça a expressão matemática da função de densidade de ;

Obs.: Lembre-se de que existe uma relação entre os modelos de Poisson e Exponencial.

Por saber que há uma grade procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.

b) O prazo necessário para realizar a obra pode ser encarado como uma variável aleatória com distribuição Exponencial. Com base na sua experiência, a construtora presume que uma obra como essa levaria em média meses para ficar pronta. Que prazo para entrega das chaves, a partir do início da obra, deve ser informado aos possíveis interessados na compra da casa? Admita que a construtora deseja ser capaz de cumprir esse prazo com de probabilidade.

Suponha que o tempo em horas gasto com o reparo de um determinado tipo de máquina que tenha apresentado defeito seja uma variável aleatória exponencial de taxa (ou seja, média de horas).

a) Qual a probabilidade de que um reparo leve entre e horas para ser efetuado?

b) Suponha que esta máquina tenha defeito e esteja em reparo há horas. Calcule a probabilidade de que, ao longo das duas horas seguintes, a máquina esteja em processo de reparo.

c) Considere que o reparo de cada máquina desse tipo acarreta um custo fixo de reais por máquina mais um custo variável por máquina de reais/hora proporcional ao tempo em que máquina fique em reparo. Obtenha o valor esperado e o desvio padrão do custo total com reparos num mês em que 3 dessas máquinas apresentem falha, admitindo independência entre os tempos de reparo.

Por saber que há uma grade procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.

b) O prazo necessário para realizar a obra pode ser encarado como uma variável aleatória com distribuição Exponencial. Com base na sua experiência, a construtora presume que uma obra como essa levaria em média meses para ficar pronta. Que prazo para entrega das chaves, a partir do início da obra, deve ser informado aos possíveis interessados na compra da casa? Admita que a construtora deseja ser capaz de cumprir esse prazo com de probabilidade.

Em uma grande rede corporativa de computadores, o intervalo de tempo entre duas conexões consecutivas ao sistema pode ser modelada por uma variável aleatória do tipo exponencial. Sabe-se que em média, chegam 40 conexões por hora. Pergunta-se:

1. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões seja superior a 6 minutos?
2. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões esteja entre 3 e 4 minutos?
3. Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer neste intervalo seja igual a 0,9. Lembre-se de que a distribuição se refere ao intervalo de tempo entre duas conexões sucessivas.

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

08) Um motor elétrico fabricado por uma empresa apresenta duas falhas por ano em média quando funcionando continuamente. Sabe-se que uma variável aleatória com taxa de falhas constante é bem modelada por uma distribuição exponencial com parâmetro igual à taxa de falhas. A probabilidade do motor falhar durante o primeiro ano de operação e o tempo esperado de funcionamento em anos são, respectivamente:

A)

B)

C) .

D)

E) .

O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória Exponencialmente distribuída com parâmetro .

(a) Deduza, usando integração, a Função de Distribuição Acumulada(FDA) da v.a. ∼ Exponencial(λ). Calcule a probabilidade de um tempo de reparo exceder a 1 hora.

O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória Exponencialmente distribuída com parâmetro .

(b) Calcule a probabilidade condicional de que um reparo demore pelo menos 9 horas, dado que já demorou mais de 8 horas. Que propriedade da distribuição Exponencial relaciona a resposta deste item com a do item(a)?

1. Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.

Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.

Seja ; e .

Pede-se:

a) A densidade da v.a , em seguida as seguintes probabilidades

b) e

Estudos mostram que em períodos críticos, o número de casos de dengue notificados em um determinado posto de saúde segue uma distribuição de Poisson. A cada semana, em média, casos são notificados.

1. Qual é a probabilidade de que o intervalo de tempo entre duas notificações consecutivas seja maior que dois dias?
2. Após uma notificação no início de uma semana, exatamente dias se passaram sem nenhum outro caso ser notificado. Qual é a probabilidade de que não haja casos notificados nesta semana?

Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.

Ocorrem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

1. Forneça a expressão matemática da função de densidade de ;

Obs.: Lembre-se de que existe uma relação entre os modelos de Poisson e Exponencial.

Considere duas variáveis aleatórias contínuas e independentes ambas com distribuição exponencial com e . Qual a probabilidade de ?

O tempo de vida de uma máquina é uma variável aleatória contínua , expressa em anos. Sabe-se que , sendo uma constante. Considere uma máquina que está em operação a um ano. Qual a probabilidade dessa máquina funcionar por mais dois anos.

Um sistema é constituído de componentes que funcionam de forma independente. Sabe-se que se um dos componentes falhar o sistema falha. O tempo de vida de cada um dos componentes segue uma distribuição exponencial cujos valores esperados são: , e . Qual a probabilidade de o sistema não falhar antes de ?

Em uma grande rede corporativa de computadores, o número de conexões dos usuários ao sistema pode ser modelado como um processo que segue uma distribuição Poisson com média de 20 conexões por hora. Pergunta-se:

1. Qual a probabilidade de que o intervalo de tempo entre as conexões seja superior a 6 minutos?
2. Qual a probabilidade de que o intervalo de tempo entre conexões esteja entre 2 e 4 minutos?
3. Determine qual é o tempo que no mínimo deve transcorrer para que ocorra uma conexão, com 90% de probabilidade.

A experiência indica que a vida remanescente de um dispositivo não é afetada pelo tempo de vida anterior e segue uma distribuição exponencial. De um lote de dispositivos idênticos, observa-se que destes falham antes de . Selecionam-se aleatoriamente dispositivos de um outro lote de dispositivos idênticos. Qual a probabilidade dos dispositivos durarem mais de ?

Admita que o intervalo de tempo T entre duas chegadas sucessivas de mensagens de Whatsapp ao celular de determinada pessoa segue uma distribuição Exponencial, e que a probabilidade de que esse intervalo de tempo seja maior que 20 minutos é igual a 0,135.

a) Em média, quanto tempo após a chegada de uma mensagem deve chegar a próxima mensagem?

b) Qual a probabilidade de que T seja no máximo 40 minutos, dado que T é no mínimo 25 minutos?

c) Qual o desvio padrão do número de mensagens que a pessoa recebe em meia hora?

d) Qual a probabilidade de que, ao longo de 1 hora, ela receba pelo menos 4 mensagens?

Numa linha de produção o número de peças defeituosas em 1 dia de operação da fábrica pode ser modelado por uma distribuição de Poisson com taxa média de ocorrência de 6 peças defeituosas por dia.

(a) Seja o intervalo de tempo, em dias, entre duas ocorrências sucessivas da fabricação de itens defeituosos. Forneça a expressão matemática da função de densidade de . Deduza através de integração a expressão matemática da função de distribuição acumulada de .

(b) Qual a probabilidade de que esteja entre 8 e 12 horas?

(c) Determine a amplitude de um intervalo de tempo para que a probabilidade de nenhuma peça defeituosa ser produzida ao longo dele seja de 90%.

01) O intervalo de tempo em minutos entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa é uma variável aleatória exponencial com parâmetro emissões/min. Dado que o intervalo de tempo para que ocorra a emissão de uma partícula é superior a min, qual é a probabilidade desse intervalo ser superior a minutos?

a)

b)

c)

d)

e)

A mediana de uma variável aleatória é por definição o valor tal que . Onde é a função distribuição cumulativa de probabilidade. O valor de quando é uma variável aleatória exponencial de parâmetro é:

Considere duas variáveis aleatórias independentes ; ambas as variáveis obedecem a uma distribuição exponencial com parametro igual a l. A variância da variável aleatória é:

O número de anos de funcionamento de um rádio é uma variável aleatória exponencial com parâmetro . Se eu compro um rádio usado, qual é a probabilidade de que ele vai funcionar mais dez anos?

Uma pessoa chega ao caixa de um supermercado para passar suas compras. O tempo de atendimento é uma variável aleatória . Sabe-se que a probabilidade de ela demorar mais que instantes de tempo para terminar de passar suas compras no caixa é. Determine a função densidade de probabilidade de .

Suponha que o tempo de vida de uma bateria de um determinado fabricante seja modelado por uma variável aleatória exponencial.

1. Suponha que o tempo médio de vida útil de uma outra bateria sendo testada seja igual a 100 dias. Suponha que para detectar um determinado problema com esta bateria seja preciso observá-la por um período de pelo menos 260 dias. Assim sendo, vamos retirar uma amostra aleatória contendo 170 baterias e observar o comportamento delas nos próximos 260 dias (em funcionamento ou com defeito). Qual o valor esperado do número de baterias que encontraremos com defeito após os 260 dias? Explique os passos e os modelos probabilísticos utilizados no seu cálculo.

Em uma grande rede corporativa de computadores, o intervalo de tempo entre duas conexões consecutivas ao sistema pode ser modelada por uma variável aleatória do tipo exponencial. Sabe-se que em média, chegam 40 conexões por hora. Pergunta-se:

1. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões seja superior a 6 minutos?
2. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões esteja entre 3 e 4 minutos?
3. Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer neste intervalo seja igual a 0,9. Lembre-se de que a distribuição se refere ao intervalo de tempo entre duas conexões sucessivas.

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

Suponha que o tempo de vida de uma bateria de um determinado fabricante seja modelado por uma variável aleatória exponencial.

1. Experimentos com diversas amostras dessa bateria mostraram que somente 8% delas funcionaram mais do que 250 dias. Mostre como utilizar este dado para estimar o parâmetro da distribuição e aponte um significado para este no caso específico do exemplo.