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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 46

A vida, em anos, de certo tipo de interruptor elétrico tem distribuição exponencial com vida média de β = 2 . Se 100 desses interruptores são instalados em sistemas diferentes, qual é a probabilidade de que no máximo 30 falhem durante o primeiro ano?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A variável aleatória X representa o número de anos que o interruptor funcionou.

A variável X tem distribuição exponencial com média β = 2 .

A função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial é:

f x = 1 β e - x / β                   X > 0

E a função de distribuição de probabilidade da distribuição exponencial é:

P X ≤ x = 1 - e - x / β = 1 - e - x / 2                       x > 0

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de o interruptor falhar no primeiro ano.

P X < 1 = 1 - e x / 2

= 1 - e - 1 / 2

= 1 - 0,6065

P X < 1 = 0,3935

O número de interruptores é n = 100 .

Nós vamos considerar o interruptor falhar no primeiro ano como sucesso, então, a probabilidade de sucesso é p = 0,3935 .

Usaremos Y para representar o número de interruptores que falharam no primeiro ano, entre 100 interruptores.

Sendo assim, Y tem distribuição binomial com parâmetros n = 1 00 e p = 0 , 3935 .

A média da distribuição binomial é:

μ = n p = 1 00 0 , 3935 = 39,35

E o desvio padrão é definido por:

σ = n p 1 - p = 1 00 0 , 3935 1 - 0 , 3935 = 4,88

Queremos a probabilidade de que no máximo 30 falhem. Logo, precisamos achar a área a esquerda de x = 30,5 .

z = x - μ σ = 30,5 - 39,35 4,88 = - 1,81

Sendo assim, a probabilidade é:

P X ≤ 30 = P X ≤ - 1,81 = 0,0351

Resposta

0,0351

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