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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 28

O tempo necessário para que um carro seja abastecido é uma variável aleatória exponencial com parâmetro 1.

(a) Se José traz o seu carro no instante 0, e Maria no instante t, qual é a probabilidade de que o carro de Maria seja abastecido antes do carro de José? (Suponha que o tempo de abastecimento seja independente do horário de chegada do carro.)

(b) Se ambos os carros chegarem no instante 0, com o abastecimento começando no carro de Maria somente quando o abastecimento do carro de José já tiver terminado, qual é a probabilidade de que o carro de Maria esteja pronto antes de t = 2?

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos destacar aqui umas informações dadas no enunciado:

λ = 1

X → t e m p o   p a r a   a t e n d e r   J o s é

Y → t e m p o   p a r a   a t e n d e r   M a r i a

A função de densidade conjunta das variáveis aleatórias é:

f x , y = λ μ e - λ x - λ y

Além disso, precisamos lembrar que aqui

μ = λ = 1

Substituindo:

f x , y = e - x - y

Beleza, com tudo isso em mente, vamos partir para a letra (a).

Passo 2

Vamos lá. Aqui vamos achar a probabilidade do carro de Maria ser abastecido antes do de José.

É dito no enunciado que Maria chega no horário t , temos que Y + t = X . Então temos que encontrar P ( Y < X - t ) :

f x , y = e - x - y

P Y < X - t = ∫ 0 ∞ ∫ y + t ∞ e - x - y d x d y

Vamos integrar em relação x e calcular os limites de integração:

P Y < X - t = ∫ 0 ∞ e - y ( - e - x ) y + t ∞ d y

P Y < X - t = ∫ 0 ∞ e - 2 y - t d y

Vamos integrar em relação y e calcular os limites de integração:

P Y < X - t = - 1 2 ( e - 2 y - t ) 0 ∞

P Y < X - t = 1 2 e - t

Passo 3

Beleza, agora vamos para a letra (b):

Aqui os dois carros chegaram juntos, porém o carro de Maria só vai ser abastecido após o de José ter terminado. E queremos descobrir qual a probabilidade do carro de Maria ficar pronto antes de t = 2 .

Para isso temos que encontrar P ( X + Y < 2 ) :

P ( X + Y < 2 ) = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x e - x - y d y d x

Vamos integrar em relação y e calcular os limites de integração:

P ( X + Y < 2 ) = ∫ 0 2 e - x ( - e - y ) 0 2 - x d x

P X + Y < 2 = ∫ 0 2 e - x - e - 2 d x

Vamos integrar em relação x e calcular os limites de integração:

P X + Y < 2 = ( - e - x - x e - 2 ) 0 2

P X + Y < 2 = 0,594

Resposta

a ) 1 2 e - t

b ) 0,594

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