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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 47

Uma urna contém 5 bolas brancas e 10 bolas pretas. Um dado honesto é rolado e um certo número de bolas é retirado da urna aleatoriamente de acordo com o número que saiu no dado. Qual é a probabilidade de que todas as bolas selecionadas sejam brancas? Qual é a probabilidade condicional de que tenha saído um 3 no dado se todas as bolas selecionadas forem brancas?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, vamos enumerar os eventos, que são relacionadas as bolas brancas já que o enunciado nos pede basicamente isto, então, vamos lá

A - T o d a s   a s   b o l a s   e s c o l h i d a s   s ã o   b r a n c a s  

E i - O   r e s u l t a d o   d o   d a d o   é   i ,     i ∈ { 1,2 , 3,4 , 5,6 }

Como o dado é justo (não existe nenhuma menção no problema do dado ser viciado), então temos que a probabilidade é igual a

P E i = 1 6     p a r a   i ∈ { 1,2 , 3,4 , 5,6 }

se o dado rolar i vezes escolhemos uma combinação de i bolas, entre 10 pretas e cinco brancas, portanto temos uma condição, logo, usaremos os conceitos de probabilidade condicional para este caso.

Passo 2

Calculando essas probabilidades para cada um dos seis casos, nós obtemos as seguintes probabilidades

P A E 1 = 5 1 15 1 = 5 15 = 1 3

Para E 2 , nós temos

P A E 2 = 5 2 15 2 = 10 105 = 2 21

No caso de E 3 , obtemos

P A E 3 = 5 3 15 3 = 10 455 = 2 91

Caso E 4

P A E 4 = 5 4 15 4 = 1 273

Caso E 5

P A E 5 = 5 5 15 5 = 1 3003

E finalmente, para o caso de E 6

P A E 6 = 5 6 15 6 = 0

O enunciado nos pede para calcular de ter saído um três no dado do que seja uma bola branca, ou seja, a seguinte probabilidade condicional P E 3 A . Então, vamos calcular essa probabilidade!

Passo 3

E 1 , E 2 , E 3 ,   E 4 ,   E 5   e   E 6 são hipóteses concorrentes, ou seja, eventos mutuamente exclusivos, cuja união é todo o espaço amostral, condicionando assim o lançamento do dado a seguinte probabilidade

P A =   ∑ i = 1 6 P A E i P E i

Substituindo essas probabilidades no somatório (já que nós obtemos essas probabilidades nos passos anteriores), nós temos que

P A = 1 6 1 3 + 2 21 + 2 91 + 1 273 + 1 3003

Essa probabilidade será igual a

P A = 5 66

Já encontramos a probabilidade de P ( A ) , agora nós já podemos partir para a probabilidade condicional que o problema nos pede (que é P ( E 3 | A ) )

Passo 4

Essa probabilidade P ( E 3 | A ) pode ser calculada usando a seguinte propriedade:

P E 3 A = P A E 3 P ( E 3 )

Lembra de como é a definição de uma probabilidade condicional? Então vamos relembrar

P X Y = P X Y P Y

Com isso, podemos utilizar essa propriedade para encontrar P ( E 3 | A ) , então

P E 3 A = P E 3 A P A

Substituindo P ( E 3 A ) , nós temos que

P E 3 A = P A E 3 P ( E 3 ) P A

Agora é substituir os valores para encontrarmos a probabilidade pedida, com isso, nós temos

P E 3 A = 2 91 ∙ 1 6 5 66 = 22 455

Logo, a probabilidade de ter saído um 3 se todas as bolas selecionadas forem brancas é de 22 455

Resposta

P E 3 A = 22 455

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