Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 6
Uma urna contém b bolas pretas e r bolas vermelhas. Uma das bolas é sorteada, mas quando ela é colocada de volta na urna, c bolas adicionais da mesma cor são colocadas juntamente com ela. Agora, suponha que sorteemos outra bola. Mostre que a probabilidade de que a primeira bola tenha cor preta, dado que a segunda bola sorteada seja vermelha, é b/(b + r + c).
Passo 1
Opa galeeeeera! Hoje vamos tirar bolas de caixas.
a) Vamos pensar primeiramente nas possibilidades da segunda bola ser vermelha.
Há duas possibilidades, ou as c bolas adicionadas na urna são pretas ou elas são vermelhas:
Para o caso das c bolas serem vermelhas é a mesma probabilidade de retirar a primeira bola e ela ser vermelha, e essa probabilidade é de:
E depois disto teremos bolas e são bolas vermelhas. Como queremos saber a probabilidade de retirar uma bola vermelha:
Então a probabilidade de sair uma bola vermelha na primeira urna e depois retirar uma bola vermelha na segunda urna:
Passo 2
Agora vamos para o caso 2, onde a primeira bola é preta e a segunda é vermelha.
Para as c bolas serem pretas é a mesma probabilidade de retirar a primeira bola e ela ser preta, e essa probabilidade é de:
E depois disto teremos bolas e queremos saber a probabilidade de retirar uma bola vermelha:
Então a probabilidade de sair uma bola preta na primeira urna e depois retirar uma bola vermelha na segunda urna:
Passo 3
E a probabilidade de sair uma bola vermelha será a soma destas duas probabilidades calculadas anteriormente.
E a probabilidade de que a primeira bola tenha cor preta e que a segunda bola sorteada seja vermelha é de:
Então a probabilidade condicional se torna:
Simplificando:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)