Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 7 bolas pretas. Os jogadores A e B retiram bolas da urna alternadamente até que uma bola vermelha seja selecionada. Determine a probabilidade de A selecionar uma bola vermelha. (A tira a primeira bola, depois B, e assim por diante. Não há devolução das bolas retiradas.)

Passo 1

Vamos resolver esse problema, pensando na retirada das 10 bolas, sendo feitas uma seguida da outra. Os casos totais são 10 ! (Primeira retirada 10, segunda 9, terceira 8...). Os casos favoráveis para A retirar uma bola vermelha podem ser vistos da seguinte forma:

n º   c a s o s   f a v o r á v e i s = 3 ⋅ 9 ! + 7 ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ 7 ! + 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ! + 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 !

Cada parcela da soma acima, representa os casos pra A retirar a bola vermelha na primeira, segundam terceira e quarta retiradas, respectivamente. Inevitavelmente a partir da 7ª retirada alguém vai retirar uma bola vermelha, e esse alguém ter q ser o A pra satisfazer o q querermos, por isso paramos na 4ªretirada de A(aquela que é a última chance dele retirar a vermelha)(A,B,A,B,A,B,A,B).

Passo 2

Assim, a probabilidade pedida é:

P = 3 ⋅ 9 ! + 7 ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ 7 ! + 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ! + 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ! 10 ! = 0,5833

Resposta

P = 0,5833

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